Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82007 / 16469
↖ ↑ ↗
← N 79.127386°
E 45.238952°		 ← 57.61 m → N 79.127386°
E 45.241699°		 →
↑
57.66 m
↓
↑
57.66 m
↓
N 79.126868°
E 45.238952°		 ← 57.61 m →
3 322 m²		 N 79.126868°
E 45.241699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625667572021484 y=0.125652313232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625667572021484 × 217)
    floor (0.625667572021484 × 131072)
    floor (82007.5)     		tx = 82007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125652313232422 × 217)
    floor (0.125652313232422 × 131072)
    floor (16469.5)     		ty = 16469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82007 / 16469 ti = "17/82007/16469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82007/16469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82007 ÷ 217
    82007 ÷ 131072     		x = 0.625663757324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16469 ÷ 217
    16469 ÷ 131072     		y = 0.125648498535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625663757324219 × 2 - 1) × π
    0.251327514648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.78956867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125648498535156 × 2 - 1) × π
    0.748703002929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.3521198536573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78956867} λ = 0.78956867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3521198536573))-π/2
    2×atan(10.5078211746333)-π/2
    2×1.47591487128772-π/2
    2.95182974257543-1.57079632675     		φ = 1.38103342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78956867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.238952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38103342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.127386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82007 KachelY 16469 0.78956867 1.38103342 45.238952 79.127386
    Oben rechts KachelX + 1 82008 KachelY 16469 0.78961661 1.38103342 45.241699 79.127386
    Unten links KachelX 82007 KachelY + 1 16470 0.78956867 1.38102437 45.238952 79.126868
    Unten rechts KachelX + 1 82008 KachelY + 1 16470 0.78961661 1.38102437 45.241699 79.126868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38103342-1.38102437) × R
    9.05000000006595e-06 × 6371000     		dl = 57.6575500004202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38103342-1.38102437) × R
    9.05000000006595e-06 × 6371000     		dr = 57.6575500004202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78956867-0.78961661) × cos(1.38103342) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.188626063138973 × 6371000     		do = 57.611254917603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78956867-0.78961661) × cos(1.38102437) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.188634950674559 × 6371000     		du = 57.6139693997364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38103342)-sin(1.38102437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188626063138973-0.188634950674559)×R²
    abs(0.78961661-0.78956867)×8.88753558678235e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.88753558678235e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.88753558678235e-06×40589641000000     		ar = 3321.80206613672m²