Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81992 / 114776
↖ ↑ ↗
← S 79.216649°
E 45.197754°		 ← 57.14 m → S 79.216649°
E 45.200501°		 →
↑
57.15 m
↓
↑
57.15 m
↓
S 79.217163°
E 45.197754°		 ← 57.14 m →
3 266 m²		 S 79.217163°
E 45.200501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625553131103516 y=0.875675201416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625553131103516 × 217)
    floor (0.625553131103516 × 131072)
    floor (81992.5)     		tx = 81992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875675201416016 × 217)
    floor (0.875675201416016 × 131072)
    floor (114776.5)     		ty = 114776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81992 / 114776 ti = "17/81992/114776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81992/114776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81992 ÷ 217
    81992 ÷ 131072     		x = 0.62554931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114776 ÷ 217
    114776 ÷ 131072     		y = 0.87567138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62554931640625 × 2 - 1) × π
    0.2510986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78884962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87567138671875 × 2 - 1) × π
    -0.7513427734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36041293729156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78884962} λ = 0.78884962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36041293729156))-π/2
    2×atan(0.0943812416140951)-π/2
    2×0.0941024863001673-π/2
    0.188204972600335-1.57079632675     		φ = -1.38259135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78884962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.197754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38259135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.216649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81992 KachelY 114776 0.78884962 -1.38259135 45.197754 -79.216649
    Oben rechts KachelX + 1 81993 KachelY 114776 0.78889756 -1.38259135 45.200501 -79.216649
    Unten links KachelX 81992 KachelY + 1 114777 0.78884962 -1.38260032 45.197754 -79.217163
    Unten rechts KachelX + 1 81993 KachelY + 1 114777 0.78889756 -1.38260032 45.200501 -79.217163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38259135--1.38260032) × R
    8.97000000010806e-06 × 6371000     		dl = 57.1478700006884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38259135--1.38260032) × R
    8.97000000010806e-06 × 6371000     		dr = 57.1478700006884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78884962-0.78889756) × cos(-1.38259135) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187095871271742 × 6371000     		do = 57.1438949340792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78884962-0.78889756) × cos(-1.38260032) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187087059659534 × 6371000     		du = 57.1412036409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38259135)-sin(-1.38260032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187095871271742-0.187087059659534)×R²
    abs(0.78889756-0.78884962)×8.8116122079207e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.8116122079207e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.8116122079207e-06×40589641000000     		ar = 3265.57497824831m²