Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81991 / 114775
↖ ↑ ↗
← S 79.216136°
E 45.195007°		 ← 57.15 m → S 79.216136°
E 45.197754°		 →
↑
57.08 m
↓
↑
57.08 m
↓
S 79.216649°
E 45.195007°		 ← 57.14 m →
3 262 m²		 S 79.216649°
E 45.197754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625545501708984 y=0.875667572021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625545501708984 × 217)
    floor (0.625545501708984 × 131072)
    floor (81991.5)     		tx = 81991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875667572021484 × 217)
    floor (0.875667572021484 × 131072)
    floor (114775.5)     		ty = 114775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81991 / 114775 ti = "17/81991/114775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81991/114775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81991 ÷ 217
    81991 ÷ 131072     		x = 0.625541687011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114775 ÷ 217
    114775 ÷ 131072     		y = 0.875663757324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625541687011719 × 2 - 1) × π
    0.251083374023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.78880168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875663757324219 × 2 - 1) × π
    -0.751327514648438 × 3.1415926535     		Φ = -2.36036500039194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78880168} λ = 0.78880168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36036500039194))-π/2
    2×atan(0.0943857660666436)-π/2
    2×0.0941069708036565-π/2
    0.188213941607313-1.57079632675     		φ = -1.38258239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78880168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.195007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38258239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.216136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81991 KachelY 114775 0.78880168 -1.38258239 45.195007 -79.216136
    Oben rechts KachelX + 1 81992 KachelY 114775 0.78884962 -1.38258239 45.197754 -79.216136
    Unten links KachelX 81991 KachelY + 1 114776 0.78880168 -1.38259135 45.195007 -79.216649
    Unten rechts KachelX + 1 81992 KachelY + 1 114776 0.78884962 -1.38259135 45.197754 -79.216649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38258239--1.38259135) × R
    8.95999999994679e-06 × 6371000     		dl = 57.084159999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38258239--1.38259135) × R
    8.95999999994679e-06 × 6371000     		dr = 57.084159999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78880168-0.78884962) × cos(-1.38258239) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.187104673045496 × 6371000     		do = 57.1465832224737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78880168-0.78884962) × cos(-1.38259135) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.187095871271742 × 6371000     		du = 57.1438949342115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38258239)-sin(-1.38259135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187104673045496-0.187095871271742)×R²
    abs(0.78884962-0.78880168)×8.80177375406355e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.80177375406355e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.80177375406355e-06×40589641000000     		ar = 3262.08797072963m²