Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81990 / 114777
↖ ↑ ↗
← S 79.217163°
E 45.192261°		 ← 57.13 m → S 79.217163°
E 45.195007°		 →
↑
57.15 m
↓
↑
57.15 m
↓
S 79.217677°
E 45.192261°		 ← 57.13 m →
3 265 m²		 S 79.217677°
E 45.195007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625537872314453 y=0.875682830810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625537872314453 × 217)
    floor (0.625537872314453 × 131072)
    floor (81990.5)     		tx = 81990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875682830810547 × 217)
    floor (0.875682830810547 × 131072)
    floor (114777.5)     		ty = 114777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81990 / 114777 ti = "17/81990/114777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81990/114777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81990 ÷ 217
    81990 ÷ 131072     		x = 0.625534057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114777 ÷ 217
    114777 ÷ 131072     		y = 0.875679016113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625534057617188 × 2 - 1) × π
    0.251068115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78875375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875679016113281 × 2 - 1) × π
    -0.751358032226562 × 3.1415926535     		Φ = -2.36046087419118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78875375} λ = 0.78875375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36046087419118))-π/2
    2×atan(0.0943767173784296)-π/2
    2×0.0940980020078504-π/2
    0.188196004015701-1.57079632675     		φ = -1.38260032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78875375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.192261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38260032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.217163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81990 KachelY 114777 0.78875375 -1.38260032 45.192261 -79.217163
    Oben rechts KachelX + 1 81991 KachelY 114777 0.78880168 -1.38260032 45.195007 -79.217163
    Unten links KachelX 81990 KachelY + 1 114778 0.78875375 -1.38260929 45.192261 -79.217677
    Unten rechts KachelX + 1 81991 KachelY + 1 114778 0.78880168 -1.38260929 45.195007 -79.217677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38260032--1.38260929) × R
    8.96999999988601e-06 × 6371000     		dl = 57.1478699992738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38260032--1.38260929) × R
    8.96999999988601e-06 × 6371000     		dr = 57.1478699992738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78875375-0.78880168) × cos(-1.38260032) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.187087059659534 × 6371000     		do = 57.1292843242692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78875375-0.78880168) × cos(-1.38260929) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.187078248032274 × 6371000     		du = 57.1265935878812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38260032)-sin(-1.38260929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187087059659534-0.187078248032274)×R²
    abs(0.78880168-0.78875375)×8.81162726087958e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.81162726087958e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.81162726087958e-06×40589641000000     		ar = 3264.74002873182m²