Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8199 / 9560
↖ ↑ ↗
← S 28.767659°
E  0.153809°		 ← 2 141.67 m → S 28.767659°
E  0.175781°		 →
↑
2 141.48 m
↓
↑
2 141.48 m
↓
S 28.786918°
E  0.153809°		 ← 2 141.27 m →
4 585 928 m²		 S 28.786918°
E  0.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500457763671875 y=0.583526611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500457763671875 × 214)
    floor (0.500457763671875 × 16384)
    floor (8199.5)     		tx = 8199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583526611328125 × 214)
    floor (0.583526611328125 × 16384)
    floor (9560.5)     		ty = 9560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8199 / 9560 ti = "14/8199/9560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8199/9560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8199 ÷ 214
    8199 ÷ 16384     		x = 0.50042724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9560 ÷ 214
    9560 ÷ 16384     		y = 0.58349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50042724609375 × 2 - 1) × π
    0.0008544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00268447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58349609375 × 2 - 1) × π
    -0.1669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.524621429441894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00268447} λ = 0.00268447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.524621429441894))-π/2
    2×atan(0.591779352206179)-π/2
    2×0.534352978661201-π/2
    1.0687059573224-1.57079632675     		φ = -0.50209037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00268447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.153809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50209037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.767659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8199 KachelY 9560 0.00268447 -0.50209037 0.153809 -28.767659
    Oben rechts KachelX + 1 8200 KachelY 9560 0.00306796 -0.50209037 0.175781 -28.767659
    Unten links KachelX 8199 KachelY + 1 9561 0.00268447 -0.50242650 0.153809 -28.786918
    Unten rechts KachelX + 1 8200 KachelY + 1 9561 0.00306796 -0.50242650 0.175781 -28.786918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50209037--0.50242650) × R
    0.00033612999999999 × 6371000     		dl = 2141.48422999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50209037--0.50242650) × R
    0.00033612999999999 × 6371000     		dr = 2141.48422999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00268447-0.00306796) × cos(-0.50209037) × R
    0.00038349 × 0.876578468494909 × 6371000     		do = 2141.66947882231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00268447-0.00306796) × cos(-0.50242650) × R
    0.00038349 × 0.876416653403638 × 6371000     		du = 2141.27412979807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50209037)-sin(-0.50242650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876578468494909-0.876416653403638)×R²
    abs(0.00306796-0.00268447)×0.000161815091271111×R²
    0.00038349×0.000161815091271111×6371000²
    0.00038349×0.000161815091271111×40589641000000     		ar = 4585928.14109753m²