Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81986 / 16585
↖ ↑ ↗
← N 79.067125°
E 45.181274°		 ← 57.93 m → N 79.067125°
E 45.184021°		 →
↑
57.91 m
↓
↑
57.91 m
↓
N 79.066604°
E 45.181274°		 ← 57.93 m →
3 355 m²		 N 79.066604°
E 45.184021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625507354736328 y=0.126537322998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625507354736328 × 217)
    floor (0.625507354736328 × 131072)
    floor (81986.5)     		tx = 81986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126537322998047 × 217)
    floor (0.126537322998047 × 131072)
    floor (16585.5)     		ty = 16585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81986 / 16585 ti = "17/81986/16585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81986/16585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81986 ÷ 217
    81986 ÷ 131072     		x = 0.625503540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16585 ÷ 217
    16585 ÷ 131072     		y = 0.126533508300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625503540039062 × 2 - 1) × π
    0.251007080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78856200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126533508300781 × 2 - 1) × π
    0.746932983398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.34655917330137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78856200} λ = 0.78856200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34655917330137))-π/2
    2×atan(10.4495526961797)-π/2
    2×1.47538899218143-π/2
    2.95077798436286-1.57079632675     		φ = 1.37998166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78856200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.181274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37998166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.067125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81986 KachelY 16585 0.78856200 1.37998166 45.181274 79.067125
    Oben rechts KachelX + 1 81987 KachelY 16585 0.78860994 1.37998166 45.184021 79.067125
    Unten links KachelX 81986 KachelY + 1 16586 0.78856200 1.37997257 45.181274 79.066604
    Unten rechts KachelX + 1 81987 KachelY + 1 16586 0.78860994 1.37997257 45.184021 79.066604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37998166-1.37997257) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dl = 57.912390000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37998166-1.37997257) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dr = 57.912390000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78856200-0.78860994) × cos(1.37998166) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189658838459687 × 6371000     		do = 57.9266910840523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78856200-0.78860994) × cos(1.37997257) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189667763468826 × 6371000     		du = 57.9294170115731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37998166)-sin(1.37997257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189658838459687-0.189667763468826)×R²
    abs(0.78860994-0.78856200)×8.92500913879379e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.92500913879379e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.92500913879379e-06×40589641000000     		ar = 3354.75205779568m²