Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81981 / 19741
↖ ↑ ↗
← N 77.295014°
E 45.167541°		 ← 67.17 m → N 77.295014°
E 45.170288°		 →
↑
67.15 m
↓
↑
67.15 m
↓
N 77.294410°
E 45.167541°		 ← 67.18 m →
4 511 m²		 N 77.294410°
E 45.170288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625469207763672 y=0.150615692138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625469207763672 × 217)
    floor (0.625469207763672 × 131072)
    floor (81981.5)     		tx = 81981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150615692138672 × 217)
    floor (0.150615692138672 × 131072)
    floor (19741.5)     		ty = 19741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81981 / 19741 ti = "17/81981/19741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81981/19741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81981 ÷ 217
    81981 ÷ 131072     		x = 0.625465393066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19741 ÷ 217
    19741 ÷ 131072     		y = 0.150611877441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625465393066406 × 2 - 1) × π
    0.250930786132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.78832231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150611877441406 × 2 - 1) × π
    0.698776245117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.19527031810047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78832231} λ = 0.78832231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19527031810047))-π/2
    2×atan(8.98242884176961)-π/2
    2×1.45992440915575-π/2
    2.9198488183115-1.57079632675     		φ = 1.34905249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78832231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.167541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34905249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.295014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81981 KachelY 19741 0.78832231 1.34905249 45.167541 77.295014
    Oben rechts KachelX + 1 81982 KachelY 19741 0.78837025 1.34905249 45.170288 77.295014
    Unten links KachelX 81981 KachelY + 1 19742 0.78832231 1.34904195 45.167541 77.294410
    Unten rechts KachelX + 1 81982 KachelY + 1 19742 0.78837025 1.34904195 45.170288 77.294410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34905249-1.34904195) × R
    1.05400000001143e-05 × 6371000     		dl = 67.1503400007285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34905249-1.34904195) × R
    1.05400000001143e-05 × 6371000     		dr = 67.1503400007285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78832231-0.78837025) × cos(1.34905249) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.219931096284104 × 6371000     		do = 67.1726178316951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78832231-0.78837025) × cos(1.34904195) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.219941378204297 × 6371000     		du = 67.1757581947787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34905249)-sin(1.34904195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219931096284104-0.219941378204297)×R²
    abs(0.78837025-0.78832231)×1.02819201928672e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.02819201928672e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.02819201928672e-05×40589641000000     		ar = 4510.76956440976m²