Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81979 / 16429
↖ ↑ ↗
← N 79.148090°
E 45.162048°		 ← 57.50 m → N 79.148090°
E 45.164795°		 →
↑
57.47 m
↓
↑
57.47 m
↓
N 79.147573°
E 45.162048°		 ← 57.51 m →
3 305 m²		 N 79.147573°
E 45.164795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625453948974609 y=0.125347137451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625453948974609 × 217)
    floor (0.625453948974609 × 131072)
    floor (81979.5)     		tx = 81979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125347137451172 × 217)
    floor (0.125347137451172 × 131072)
    floor (16429.5)     		ty = 16429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81979 / 16429 ti = "17/81979/16429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81979/16429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81979 ÷ 217
    81979 ÷ 131072     		x = 0.625450134277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16429 ÷ 217
    16429 ÷ 131072     		y = 0.125343322753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625450134277344 × 2 - 1) × π
    0.250900268554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.78822644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125343322753906 × 2 - 1) × π
    0.749313354492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.3540373296421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78822644} λ = 0.78822644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3540373296421))-π/2
    2×atan(10.5279889988683)-π/2
    2×1.476095544099-π/2
    2.952191088198-1.57079632675     		φ = 1.38139476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78822644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.162048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38139476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.148090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81979 KachelY 16429 0.78822644 1.38139476 45.162048 79.148090
    Oben rechts KachelX + 1 81980 KachelY 16429 0.78827438 1.38139476 45.164795 79.148090
    Unten links KachelX 81979 KachelY + 1 16430 0.78822644 1.38138574 45.162048 79.147573
    Unten rechts KachelX + 1 81980 KachelY + 1 16430 0.78827438 1.38138574 45.164795 79.147573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38139476-1.38138574) × R
    9.02000000002623e-06 × 6371000     		dl = 57.4664200001671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38139476-1.38138574) × R
    9.02000000002623e-06 × 6371000     		dr = 57.4664200001671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78822644-0.78827438) × cos(1.38139476) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.18827119725244 × 6371000     		do = 57.502869741608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78822644-0.78827438) × cos(1.38138574) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.188280055940831 × 6371000     		du = 57.5055754130652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38139476)-sin(1.38138574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18827119725244-0.188280055940831)×R²
    abs(0.78827438-0.78822644)×8.85868839092807e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.85868839092807e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.85868839092807e-06×40589641000000     		ar = 3304.56180645124m²