Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81978 / 16430
↖ ↑ ↗
← N 79.147573°
E 45.159302°		 ← 57.51 m → N 79.147573°
E 45.162048°		 →
↑
57.53 m
↓
↑
57.53 m
↓
N 79.147055°
E 45.159302°		 ← 57.51 m →
3 308 m²		 N 79.147055°
E 45.162048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625446319580078 y=0.125354766845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625446319580078 × 217)
    floor (0.625446319580078 × 131072)
    floor (81978.5)     		tx = 81978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125354766845703 × 217)
    floor (0.125354766845703 × 131072)
    floor (16430.5)     		ty = 16430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81978 / 16430 ti = "17/81978/16430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81978/16430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81978 ÷ 217
    81978 ÷ 131072     		x = 0.625442504882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16430 ÷ 217
    16430 ÷ 131072     		y = 0.125350952148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625442504882812 × 2 - 1) × π
    0.250885009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78817850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125350952148438 × 2 - 1) × π
    0.749298095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.35398939274248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78817850} λ = 0.78817850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35398939274248))-π/2
    2×atan(10.5274843318127)-π/2
    2×1.47609103142407-π/2
    2.95218206284813-1.57079632675     		φ = 1.38138574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78817850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.159302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38138574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.147573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81978 KachelY 16430 0.78817850 1.38138574 45.159302 79.147573
    Oben rechts KachelX + 1 81979 KachelY 16430 0.78822644 1.38138574 45.162048 79.147573
    Unten links KachelX 81978 KachelY + 1 16431 0.78817850 1.38137671 45.159302 79.147055
    Unten rechts KachelX + 1 81979 KachelY + 1 16431 0.78822644 1.38137671 45.162048 79.147055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38138574-1.38137671) × R
    9.02999999996545e-06 × 6371000     		dl = 57.5301299997799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38138574-1.38137671) × R
    9.02999999996545e-06 × 6371000     		dr = 57.5301299997799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78817850-0.78822644) × cos(1.38138574) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188280055940831 × 6371000     		do = 57.505575412932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78817850-0.78822644) × cos(1.38137671) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18828892443504 × 6371000     		du = 57.5082840793385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38138574)-sin(1.38137671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188280055940831-0.18828892443504)×R²
    abs(0.78822644-0.78817850)×8.86849420911329e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.86849420911329e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.86849420911329e-06×40589641000000     		ar = 3308.38114421946m²