Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81972 / 19747
↖ ↑ ↗
← N 77.291389°
E 45.142822°		 ← 67.19 m → N 77.291389°
E 45.145569°		 →
↑
67.21 m
↓
↑
67.21 m
↓
N 77.290785°
E 45.142822°		 ← 67.19 m →
4 516 m²		 N 77.290785°
E 45.145569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625400543212891 y=0.150661468505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625400543212891 × 217)
    floor (0.625400543212891 × 131072)
    floor (81972.5)     		tx = 81972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150661468505859 × 217)
    floor (0.150661468505859 × 131072)
    floor (19747.5)     		ty = 19747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81972 / 19747 ti = "17/81972/19747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81972/19747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81972 ÷ 217
    81972 ÷ 131072     		x = 0.625396728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19747 ÷ 217
    19747 ÷ 131072     		y = 0.150657653808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625396728515625 × 2 - 1) × π
    0.25079345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78789088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150657653808594 × 2 - 1) × π
    0.698684692382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.19498269670275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78789088} λ = 0.78789088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19498269670275))-π/2
    2×atan(8.9798456745361)-π/2
    2×1.45989277627377-π/2
    2.91978555254754-1.57079632675     		φ = 1.34898923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78789088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.142822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34898923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.291389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81972 KachelY 19747 0.78789088 1.34898923 45.142822 77.291389
    Oben rechts KachelX + 1 81973 KachelY 19747 0.78793882 1.34898923 45.145569 77.291389
    Unten links KachelX 81972 KachelY + 1 19748 0.78789088 1.34897868 45.142822 77.290785
    Unten rechts KachelX + 1 81973 KachelY + 1 19748 0.78793882 1.34897868 45.145569 77.290785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34898923-1.34897868) × R
    1.05499999998315e-05 × 6371000     		dl = 67.2140499989267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34898923-1.34897868) × R
    1.05499999998315e-05 × 6371000     		dr = 67.2140499989267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78789088-0.78793882) × cos(1.34898923) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.219992806948763 × 6371000     		do = 67.1914658571146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78789088-0.78793882) × cos(1.34897868) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.220003098477282 × 6371000     		du = 67.1946091548282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34898923)-sin(1.34897868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219992806948763-0.220003098477282)×R²
    abs(0.78793882-0.78789088)×1.02915285190019e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.02915285190019e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.02915285190019e-05×40589641000000     		ar = 4516.31618260859m²