Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81970 / 19750
↖ ↑ ↗
← N 77.289577°
E 45.137329°		 ← 67.20 m → N 77.289577°
E 45.140076°		 →
↑
67.21 m
↓
↑
67.21 m
↓
N 77.288972°
E 45.137329°		 ← 67.20 m →
4 517 m²		 N 77.288972°
E 45.140076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625385284423828 y=0.150684356689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625385284423828 × 217)
    floor (0.625385284423828 × 131072)
    floor (81970.5)     		tx = 81970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150684356689453 × 217)
    floor (0.150684356689453 × 131072)
    floor (19750.5)     		ty = 19750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81970 / 19750 ti = "17/81970/19750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81970/19750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81970 ÷ 217
    81970 ÷ 131072     		x = 0.625381469726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19750 ÷ 217
    19750 ÷ 131072     		y = 0.150680541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625381469726562 × 2 - 1) × π
    0.250762939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78779501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150680541992188 × 2 - 1) × π
    0.698638916015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19483888600389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78779501} λ = 0.78779501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19483888600389))-π/2
    2×atan(8.97855436950796)-π/2
    2×1.45987695650419-π/2
    2.91975391300838-1.57079632675     		φ = 1.34895759
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78779501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.137329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34895759 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.289577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81970 KachelY 19750 0.78779501 1.34895759 45.137329 77.289577
    Oben rechts KachelX + 1 81971 KachelY 19750 0.78784295 1.34895759 45.140076 77.289577
    Unten links KachelX 81970 KachelY + 1 19751 0.78779501 1.34894704 45.137329 77.288972
    Unten rechts KachelX + 1 81971 KachelY + 1 19751 0.78784295 1.34894704 45.140076 77.288972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34895759-1.34894704) × R
    1.05499999998315e-05 × 6371000     		dl = 67.2140499989267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34895759-1.34894704) × R
    1.05499999998315e-05 × 6371000     		dr = 67.2140499989267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78779501-0.78784295) × cos(1.34895759) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.220023671705913 × 6371000     		do = 67.2008927484071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78779501-0.78784295) × cos(1.34894704) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.220033963160991 × 6371000     		du = 67.20403602369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34895759)-sin(1.34894704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220023671705913-0.220033963160991)×R²
    abs(0.78784295-0.78779501)×1.02914550780542e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.02914550780542e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.02914550780542e-05×40589641000000     		ar = 4516.94980130103m²