Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81969 / 16370
↖ ↑ ↗
← N 79.178557°
E 45.134582°		 ← 57.34 m → N 79.178557°
E 45.137329°		 →
↑
57.34 m
↓
↑
57.34 m
↓
N 79.178041°
E 45.134582°		 ← 57.35 m →
3 288 m²		 N 79.178041°
E 45.137329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625377655029297 y=0.124897003173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625377655029297 × 217)
    floor (0.625377655029297 × 131072)
    floor (81969.5)     		tx = 81969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124897003173828 × 217)
    floor (0.124897003173828 × 131072)
    floor (16370.5)     		ty = 16370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81969 / 16370 ti = "17/81969/16370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81969/16370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81969 ÷ 217
    81969 ÷ 131072     		x = 0.625373840332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16370 ÷ 217
    16370 ÷ 131072     		y = 0.124893188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625373840332031 × 2 - 1) × π
    0.250747680664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.78774707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124893188476562 × 2 - 1) × π
    0.750213623046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35686560671968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78774707} λ = 0.78774707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35686560671968))-π/2
    2×atan(10.5578072160402)-π/2
    2×1.47636141621295-π/2
    2.9527228324259-1.57079632675     		φ = 1.38192651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78774707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.134582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38192651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.178557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81969 KachelY 16370 0.78774707 1.38192651 45.134582 79.178557
    Oben rechts KachelX + 1 81970 KachelY 16370 0.78779501 1.38192651 45.137329 79.178557
    Unten links KachelX 81969 KachelY + 1 16371 0.78774707 1.38191751 45.134582 79.178041
    Unten rechts KachelX + 1 81970 KachelY + 1 16371 0.78779501 1.38191751 45.137329 79.178041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38192651-1.38191751) × R
    8.99999999992573e-06 × 6371000     		dl = 57.3389999995268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38192651-1.38191751) × R
    8.99999999992573e-06 × 6371000     		dr = 57.3389999995268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78774707-0.78779501) × cos(1.38192651) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187748929902851 × 6371000     		do = 57.3433558497488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78774707-0.78779501) × cos(1.38191751) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187757769848724 × 6371000     		du = 57.3460557967587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38192651)-sin(1.38191751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187748929902851-0.187757769848724)×R²
    abs(0.78779501-0.78774707)×8.83994587350112e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.83994587350112e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.83994587350112e-06×40589641000000     		ar = 3288.08808705116m²