Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81968 / 19749
↖ ↑ ↗
← N 77.290181°
E 45.131836°		 ← 67.20 m → N 77.290181°
E 45.134582°		 →
↑
67.15 m
↓
↑
67.15 m
↓
N 77.289577°
E 45.131836°		 ← 67.20 m →
4 512 m²		 N 77.289577°
E 45.134582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625370025634766 y=0.150676727294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625370025634766 × 217)
    floor (0.625370025634766 × 131072)
    floor (81968.5)     		tx = 81968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150676727294922 × 217)
    floor (0.150676727294922 × 131072)
    floor (19749.5)     		ty = 19749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81968 / 19749 ti = "17/81968/19749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81968/19749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81968 ÷ 217
    81968 ÷ 131072     		x = 0.6253662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19749 ÷ 217
    19749 ÷ 131072     		y = 0.150672912597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6253662109375 × 2 - 1) × π
    0.250732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78769913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150672912597656 × 2 - 1) × π
    0.698654174804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.19488682290351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78769913} λ = 0.78769913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19488682290351))-π/2
    2×atan(8.97898478388379)-π/2
    2×1.45988223000731-π/2
    2.91976446001462-1.57079632675     		φ = 1.34896813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78769913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.131836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34896813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.290181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81968 KachelY 19749 0.78769913 1.34896813 45.131836 77.290181
    Oben rechts KachelX + 1 81969 KachelY 19749 0.78774707 1.34896813 45.134582 77.290181
    Unten links KachelX 81968 KachelY + 1 19750 0.78769913 1.34895759 45.131836 77.289577
    Unten rechts KachelX + 1 81969 KachelY + 1 19750 0.78774707 1.34895759 45.134582 77.289577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34896813-1.34895759) × R
    1.05400000001143e-05 × 6371000     		dl = 67.1503400007285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34896813-1.34895759) × R
    1.05400000001143e-05 × 6371000     		dr = 67.1503400007285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78769913-0.78774707) × cos(1.34896813) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220013389981314 × 6371000     		do = 67.1977524449074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78769913-0.78774707) × cos(1.34895759) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220023671705913 × 6371000     		du = 67.2008927482515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34896813)-sin(1.34895759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220013389981314-0.220023671705913)×R²
    abs(0.78774707-0.78769913)×1.02817245990205e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02817245990205e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02817245990205e-05×40589641000000     		ar = 4512.45736038023m²