Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81967 / 19748
↖ ↑ ↗
← N 77.290785°
E 45.129089°		 ← 67.18 m → N 77.290785°
E 45.131836°		 →
↑
67.21 m
↓
↑
67.21 m
↓
N 77.290181°
E 45.129089°		 ← 67.18 m →
4 516 m²		 N 77.290181°
E 45.131836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625362396240234 y=0.150669097900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625362396240234 × 217)
    floor (0.625362396240234 × 131072)
    floor (81967.5)     		tx = 81967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150669097900391 × 217)
    floor (0.150669097900391 × 131072)
    floor (19748.5)     		ty = 19748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81967 / 19748 ti = "17/81967/19748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81967/19748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81967 ÷ 217
    81967 ÷ 131072     		x = 0.625358581542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19748 ÷ 217
    19748 ÷ 131072     		y = 0.150665283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625358581542969 × 2 - 1) × π
    0.250717163085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.78765120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150665283203125 × 2 - 1) × π
    0.69866943359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.19493475980313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78765120} λ = 0.78765120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19493475980313))-π/2
    2×atan(8.97941521889284)-π/2
    2×1.45988750326383-π/2
    2.91977500652766-1.57079632675     		φ = 1.34897868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78765120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.129089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34897868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.290785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81967 KachelY 19748 0.78765120 1.34897868 45.129089 77.290785
    Oben rechts KachelX + 1 81968 KachelY 19748 0.78769913 1.34897868 45.131836 77.290785
    Unten links KachelX 81967 KachelY + 1 19749 0.78765120 1.34896813 45.129089 77.290181
    Unten rechts KachelX + 1 81968 KachelY + 1 19749 0.78769913 1.34896813 45.131836 77.290181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34897868-1.34896813) × R
    1.05500000000536e-05 × 6371000     		dl = 67.2140500003413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34897868-1.34896813) × R
    1.05500000000536e-05 × 6371000     		dr = 67.2140500003413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78765120-0.78769913) × cos(1.34897868) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.220003098477282 × 6371000     		do = 67.1805927573538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78765120-0.78769913) × cos(1.34896813) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.220013389981314 × 6371000     		du = 67.1837353919169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34897868)-sin(1.34896813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220003098477282-0.220013389981314)×R²
    abs(0.78769913-0.78765120)×1.02915040322837e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.02915040322837e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.02915040322837e-05×40589641000000     		ar = 4515.58533522236m²