Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81963 / 19756
↖ ↑ ↗
← N 77.285950°
E 45.118103°		 ← 67.22 m → N 77.285950°
E 45.120850°		 →
↑
67.21 m
↓
↑
67.21 m
↓
N 77.285345°
E 45.118103°		 ← 67.22 m →
4 518 m²		 N 77.285345°
E 45.120850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625331878662109 y=0.150730133056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625331878662109 × 217)
    floor (0.625331878662109 × 131072)
    floor (81963.5)     		tx = 81963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150730133056641 × 217)
    floor (0.150730133056641 × 131072)
    floor (19756.5)     		ty = 19756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81963 / 19756 ti = "17/81963/19756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81963/19756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81963 ÷ 217
    81963 ÷ 131072     		x = 0.625328063964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19756 ÷ 217
    19756 ÷ 131072     		y = 0.150726318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625328063964844 × 2 - 1) × π
    0.250656127929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.78745945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150726318359375 × 2 - 1) × π
    0.69854736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19455126460617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78745945} λ = 0.78745945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19455126460617))-π/2
    2×atan(8.97597231649534)-π/2
    2×1.45984531030636-π/2
    2.91969062061271-1.57079632675     		φ = 1.34889429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78745945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.118103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34889429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.285950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81963 KachelY 19756 0.78745945 1.34889429 45.118103 77.285950
    Oben rechts KachelX + 1 81964 KachelY 19756 0.78750739 1.34889429 45.120850 77.285950
    Unten links KachelX 81963 KachelY + 1 19757 0.78745945 1.34888374 45.118103 77.285345
    Unten rechts KachelX + 1 81964 KachelY + 1 19757 0.78750739 1.34888374 45.120850 77.285345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34889429-1.34888374) × R
    1.05500000000536e-05 × 6371000     		dl = 67.2140500003413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34889429-1.34888374) × R
    1.05500000000536e-05 × 6371000     		dr = 67.2140500003413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78745945-0.78750739) × cos(1.34889429) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.220085420069005 × 6371000     		do = 67.2197522878982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78745945-0.78750739) × cos(1.34888374) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.220095711377124 × 6371000     		du = 67.222895518296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34889429)-sin(1.34888374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220085420069005-0.220095711377124)×R²
    abs(0.78750739-0.78745945)×1.02913081191092e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.02913081191092e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.02913081191092e-05×40589641000000     		ar = 4518.21742603608m²