Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8196 / 40948
↖ ↑ ↗
← S 40.930115°
W134.978027°		 ← 461.46 m → S 40.930115°
W134.972534°		 →
↑
461.45 m
↓
↑
461.45 m
↓
S 40.934265°
W134.978027°		 ← 461.43 m →
212 933 m²		 S 40.934265°
W134.972534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125068664550781 y=0.624824523925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125068664550781 × 216)
    floor (0.125068664550781 × 65536)
    floor (8196.5)     		tx = 8196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624824523925781 × 216)
    floor (0.624824523925781 × 65536)
    floor (40948.5)     		ty = 40948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8196 / 40948 ti = "16/8196/40948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8196/40948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8196 ÷ 216
    8196 ÷ 65536     		x = 0.12506103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40948 ÷ 216
    40948 ÷ 65536     		y = 0.62481689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12506103515625 × 2 - 1) × π
    -0.7498779296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.35581099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62481689453125 × 2 - 1) × π
    -0.2496337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.784247677784119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35581099} λ = -2.35581099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.784247677784119))-π/2
    2×atan(0.456462979882072)-π/2
    2×0.428215526623415-π/2
    0.85643105324683-1.57079632675     		φ = -0.71436527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35581099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.978027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71436527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.930115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8196 KachelY 40948 -2.35581099 -0.71436527 -134.978027 -40.930115
    Oben rechts KachelX + 1 8197 KachelY 40948 -2.35571512 -0.71436527 -134.972534 -40.930115
    Unten links KachelX 8196 KachelY + 1 40949 -2.35581099 -0.71443770 -134.978027 -40.934265
    Unten rechts KachelX + 1 8197 KachelY + 1 40949 -2.35571512 -0.71443770 -134.972534 -40.934265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71436527--0.71443770) × R
    7.24299999999012e-05 × 6371000     		dl = 461.45152999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71436527--0.71443770) × R
    7.24299999999012e-05 × 6371000     		dr = 461.45152999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35581099--2.35571512) × cos(-0.71436527) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.755509229119713 × 6371000     		do = 461.455797268438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35581099--2.35571512) × cos(-0.71443770) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.75546177549236 × 6371000     		du = 461.426813173209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71436527)-sin(-0.71443770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755509229119713-0.75546177549236)×R²
    abs(-2.35571512--2.35581099)×4.74536273522563e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74536273522563e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74536273522563e-05×40589641000000     		ar = 212932.796392529m²