Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81958 / 19762
↖ ↑ ↗
← N 77.282322°
E 45.104370°		 ← 67.22 m → N 77.282322°
E 45.107117°		 →
↑
67.21 m
↓
↑
67.21 m
↓
N 77.281718°
E 45.104370°		 ← 67.23 m →
4 519 m²		 N 77.281718°
E 45.107117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625293731689453 y=0.150775909423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625293731689453 × 217)
    floor (0.625293731689453 × 131072)
    floor (81958.5)     		tx = 81958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150775909423828 × 217)
    floor (0.150775909423828 × 131072)
    floor (19762.5)     		ty = 19762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81958 / 19762 ti = "17/81958/19762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81958/19762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81958 ÷ 217
    81958 ÷ 131072     		x = 0.625289916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19762 ÷ 217
    19762 ÷ 131072     		y = 0.150772094726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625289916992188 × 2 - 1) × π
    0.250579833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78721977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150772094726562 × 2 - 1) × π
    0.698455810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19426364320845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78721977} λ = 0.78721977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19426364320845))-π/2
    2×atan(8.97339100602963)-π/2
    2×1.45981365522833-π/2
    2.91962731045667-1.57079632675     		φ = 1.34883098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78721977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.104370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34883098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.282322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81958 KachelY 19762 0.78721977 1.34883098 45.104370 77.282322
    Oben rechts KachelX + 1 81959 KachelY 19762 0.78726770 1.34883098 45.107117 77.282322
    Unten links KachelX 81958 KachelY + 1 19763 0.78721977 1.34882043 45.104370 77.281718
    Unten rechts KachelX + 1 81959 KachelY + 1 19763 0.78726770 1.34882043 45.107117 77.281718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34883098-1.34882043) × R
    1.05500000000536e-05 × 6371000     		dl = 67.2140500003413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34883098-1.34882043) × R
    1.05500000000536e-05 × 6371000     		dr = 67.2140500003413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78721977-0.78726770) × cos(1.34883098) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.220147177304905 × 6371000     		do = 67.2245889606368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78721977-0.78726770) × cos(1.34882043) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.220157468466 × 6371000     		du = 67.22773149048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34883098)-sin(1.34882043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220147177304905-0.220157468466)×R²
    abs(0.78726770-0.78721977)×1.02911610954937e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.02911610954937e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.02911610954937e-05×40589641000000     		ar = 4518.54249482181m²