Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81952 / 19872
↖ ↑ ↗
← N 77.215639°
E 45.087890°		 ← 67.59 m → N 77.215639°
E 45.090637°		 →
↑
67.53 m
↓
↑
67.53 m
↓
N 77.215032°
E 45.087890°		 ← 67.59 m →
4 564 m²		 N 77.215032°
E 45.090637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625247955322266 y=0.151615142822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625247955322266 × 217)
    floor (0.625247955322266 × 131072)
    floor (81952.5)     		tx = 81952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151615142822266 × 217)
    floor (0.151615142822266 × 131072)
    floor (19872.5)     		ty = 19872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81952 / 19872 ti = "17/81952/19872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81952/19872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81952 ÷ 217
    81952 ÷ 131072     		x = 0.625244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19872 ÷ 217
    19872 ÷ 131072     		y = 0.151611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625244140625 × 2 - 1) × π
    0.25048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78693214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151611328125 × 2 - 1) × π
    0.69677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18899058425024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78693214} λ = 0.78693214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18899058425024))-π/2
    2×atan(8.92619832045644)-π/2
    2×1.45923173552069-π/2
    2.91846347104137-1.57079632675     		φ = 1.34766714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78693214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.087890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34766714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.215639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81952 KachelY 19872 0.78693214 1.34766714 45.087890 77.215639
    Oben rechts KachelX + 1 81953 KachelY 19872 0.78698008 1.34766714 45.090637 77.215639
    Unten links KachelX 81952 KachelY + 1 19873 0.78693214 1.34765654 45.087890 77.215032
    Unten rechts KachelX + 1 81953 KachelY + 1 19873 0.78698008 1.34765654 45.090637 77.215032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34766714-1.34765654) × R
    1.05999999999717e-05 × 6371000     		dl = 67.53259999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34766714-1.34765654) × R
    1.05999999999717e-05 × 6371000     		dr = 67.53259999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78693214-0.78698008) × cos(1.34766714) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221282315078211 × 6371000     		do = 67.5853148316315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78693214-0.78698008) × cos(1.34765654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221292652289567 × 6371000     		du = 67.5884720820594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34766714)-sin(1.34765654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221282315078211-0.221292652289567)×R²
    abs(0.78698008-0.78693214)×1.03372113558486e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03372113558486e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03372113558486e-05×40589641000000     		ar = 4564.31864104583m²