Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81932 / 19852
↖ ↑ ↗
← N 77.227789°
E 45.032959°		 ← 67.51 m → N 77.227789°
E 45.035705°		 →
↑
67.53 m
↓
↑
67.53 m
↓
N 77.227182°
E 45.032959°		 ← 67.51 m →
4 559 m²		 N 77.227182°
E 45.035705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625095367431641 y=0.151462554931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625095367431641 × 217)
    floor (0.625095367431641 × 131072)
    floor (81932.5)     		tx = 81932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151462554931641 × 217)
    floor (0.151462554931641 × 131072)
    floor (19852.5)     		ty = 19852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81932 / 19852 ti = "17/81932/19852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81932/19852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81932 ÷ 217
    81932 ÷ 131072     		x = 0.625091552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19852 ÷ 217
    19852 ÷ 131072     		y = 0.151458740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625091552734375 × 2 - 1) × π
    0.25018310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78597341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151458740234375 × 2 - 1) × π
    0.69708251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18994932224265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78597341} λ = 0.78597341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18994932224265))-π/2
    2×atan(8.93476030961028)-π/2
    2×1.4593377618257-π/2
    2.91867552365139-1.57079632675     		φ = 1.34787920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78597341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.032959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34787920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.227789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81932 KachelY 19852 0.78597341 1.34787920 45.032959 77.227789
    Oben rechts KachelX + 1 81933 KachelY 19852 0.78602134 1.34787920 45.035705 77.227789
    Unten links KachelX 81932 KachelY + 1 19853 0.78597341 1.34786860 45.032959 77.227182
    Unten rechts KachelX + 1 81933 KachelY + 1 19853 0.78602134 1.34786860 45.035705 77.227182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34787920-1.34786860) × R
    1.05999999999717e-05 × 6371000     		dl = 67.53259999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34787920-1.34786860) × R
    1.05999999999717e-05 × 6371000     		dr = 67.53259999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78597341-0.78602134) × cos(1.34787920) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.221075507115948 × 6371000     		do = 67.5080656362468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78597341-0.78602134) × cos(1.34786860) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.22108584482449 × 6371000     		du = 67.5112223799125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34787920)-sin(1.34786860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221075507115948-0.22108584482449)×R²
    abs(0.78602134-0.78597341)×1.03377085413914e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.03377085413914e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.03377085413914e-05×40589641000000     		ar = 4559.10178488218m²