Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81930 / 19771
↖ ↑ ↗
← N 77.276880°
E 45.027466°		 ← 67.27 m → N 77.276880°
E 45.030212°		 →
↑
67.28 m
↓
↑
67.28 m
↓
N 77.276275°
E 45.027466°		 ← 67.27 m →
4 526 m²		 N 77.276275°
E 45.030212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625080108642578 y=0.150844573974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625080108642578 × 217)
    floor (0.625080108642578 × 131072)
    floor (81930.5)     		tx = 81930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150844573974609 × 217)
    floor (0.150844573974609 × 131072)
    floor (19771.5)     		ty = 19771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81930 / 19771 ti = "17/81930/19771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81930/19771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81930 ÷ 217
    81930 ÷ 131072     		x = 0.625076293945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19771 ÷ 217
    19771 ÷ 131072     		y = 0.150840759277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625076293945312 × 2 - 1) × π
    0.250152587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78587753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150840759277344 × 2 - 1) × π
    0.698318481445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.19383221111187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78587753} λ = 0.78587753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19383221111187))-π/2
    2×atan(8.9695204321394)-π/2
    2×1.45976615595577-π/2
    2.91953231191154-1.57079632675     		φ = 1.34873599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78587753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.027466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34873599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.276880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81930 KachelY 19771 0.78587753 1.34873599 45.027466 77.276880
    Oben rechts KachelX + 1 81931 KachelY 19771 0.78592547 1.34873599 45.030212 77.276880
    Unten links KachelX 81930 KachelY + 1 19772 0.78587753 1.34872543 45.027466 77.276275
    Unten rechts KachelX + 1 81931 KachelY + 1 19772 0.78592547 1.34872543 45.030212 77.276275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34873599-1.34872543) × R
    1.05599999999928e-05 × 6371000     		dl = 67.2777599999541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34873599-1.34872543) × R
    1.05599999999928e-05 × 6371000     		dr = 67.2777599999541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78587753-0.78592547) × cos(1.34873599) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220239835890351 × 6371000     		do = 67.2669148542449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78587753-0.78592547) × cos(1.34872543) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22025013658521 × 6371000     		du = 67.2700609515947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34873599)-sin(1.34872543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220239835890351-0.22025013658521)×R²
    abs(0.78592547-0.78587753)×1.03006948588558e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03006948588558e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03006948588558e-05×40589641000000     		ar = 4525.67318479956m²