Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81922 / 19768
↖ ↑ ↗
← N 77.278694°
E 45.005493°		 ← 67.24 m → N 77.278694°
E 45.008240°		 →
↑
67.28 m
↓
↑
67.28 m
↓
N 77.278089°
E 45.005493°		 ← 67.25 m →
4 524 m²		 N 77.278089°
E 45.008240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625019073486328 y=0.150821685791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625019073486328 × 217)
    floor (0.625019073486328 × 131072)
    floor (81922.5)     		tx = 81922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150821685791016 × 217)
    floor (0.150821685791016 × 131072)
    floor (19768.5)     		ty = 19768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81922 / 19768 ti = "17/81922/19768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81922/19768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81922 ÷ 217
    81922 ÷ 131072     		x = 0.625015258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19768 ÷ 217
    19768 ÷ 131072     		y = 0.15081787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625015258789062 × 2 - 1) × π
    0.250030517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78549404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15081787109375 × 2 - 1) × π
    0.6983642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19397602181073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78549404} λ = 0.78549404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19397602181073))-π/2
    2×atan(8.97081043789728)-π/2
    2×1.45978199126775-π/2
    2.91956398253551-1.57079632675     		φ = 1.34876766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78549404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.005493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34876766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.278694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81922 KachelY 19768 0.78549404 1.34876766 45.005493 77.278694
    Oben rechts KachelX + 1 81923 KachelY 19768 0.78554197 1.34876766 45.008240 77.278694
    Unten links KachelX 81922 KachelY + 1 19769 0.78549404 1.34875710 45.005493 77.278089
    Unten rechts KachelX + 1 81923 KachelY + 1 19769 0.78554197 1.34875710 45.008240 77.278089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34876766-1.34875710) × R
    1.05599999999928e-05 × 6371000     		dl = 67.2777599999541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34876766-1.34875710) × R
    1.05599999999928e-05 × 6371000     		dr = 67.2777599999541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78549404-0.78554197) × cos(1.34876766) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.220208943412948 × 6371000     		do = 67.2434499847741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78549404-0.78554197) × cos(1.34875710) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.220219244181459 × 6371000     		du = 67.2465954483573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34876766)-sin(1.34875710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220208943412948-0.220219244181459)×R²
    abs(0.78554197-0.78549404)×1.03007685113565e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.03007685113565e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.03007685113565e-05×40589641000000     		ar = 4524.0944994343m²