Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81917 / 17080
↖ ↑ ↗
← N 78.806246°
E 44.991760°		 ← 59.29 m → N 78.806246°
E 44.994507°		 →
↑
59.31 m
↓
↑
59.31 m
↓
N 78.805713°
E 44.991760°		 ← 59.29 m →
3 517 m²		 N 78.805713°
E 44.994507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624980926513672 y=0.130313873291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624980926513672 × 217)
    floor (0.624980926513672 × 131072)
    floor (81917.5)     		tx = 81917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130313873291016 × 217)
    floor (0.130313873291016 × 131072)
    floor (17080.5)     		ty = 17080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81917 / 17080 ti = "17/81917/17080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81917/17080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81917 ÷ 217
    81917 ÷ 131072     		x = 0.624977111816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17080 ÷ 217
    17080 ÷ 131072     		y = 0.13031005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624977111816406 × 2 - 1) × π
    0.249954223632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.78525435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13031005859375 × 2 - 1) × π
    0.7393798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32283040798944
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78525435} λ = 0.78525435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32283040798944))-π/2
    2×atan(10.2045164141387)-π/2
    2×1.47311239767532-π/2
    2.94622479535063-1.57079632675     		φ = 1.37542847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78525435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.991760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37542847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.806246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81917 KachelY 17080 0.78525435 1.37542847 44.991760 78.806246
    Oben rechts KachelX + 1 81918 KachelY 17080 0.78530229 1.37542847 44.994507 78.806246
    Unten links KachelX 81917 KachelY + 1 17081 0.78525435 1.37541916 44.991760 78.805713
    Unten rechts KachelX + 1 81918 KachelY + 1 17081 0.78530229 1.37541916 44.994507 78.805713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37542847-1.37541916) × R
    9.30999999981807e-06 × 6371000     		dl = 59.314009998841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37542847-1.37541916) × R
    9.30999999981807e-06 × 6371000     		dr = 59.314009998841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78525435-0.78530229) × cos(1.37542847) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194127406895534 × 6371000     		do = 59.2915069053108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78525435-0.78530229) × cos(1.37541916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194136539776705 × 6371000     		du = 59.2942963223007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37542847)-sin(1.37541916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194127406895534-0.194136539776705)×R²
    abs(0.78530229-0.78525435)×9.13288117079802e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.13288117079802e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.13288117079802e-06×40589641000000     		ar = 3516.89975918281m²