Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81913 / 19745
↖ ↑ ↗
← N 77.292598°
E 44.980774°		 ← 67.17 m → N 77.292598°
E 44.983520°		 →
↑
67.21 m
↓
↑
67.21 m
↓
N 77.291993°
E 44.980774°		 ← 67.17 m →
4 515 m²		 N 77.291993°
E 44.983520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624950408935547 y=0.150646209716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624950408935547 × 217)
    floor (0.624950408935547 × 131072)
    floor (81913.5)     		tx = 81913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150646209716797 × 217)
    floor (0.150646209716797 × 131072)
    floor (19745.5)     		ty = 19745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81913 / 19745 ti = "17/81913/19745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81913/19745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81913 ÷ 217
    81913 ÷ 131072     		x = 0.624946594238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19745 ÷ 217
    19745 ÷ 131072     		y = 0.150642395019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624946594238281 × 2 - 1) × π
    0.249893188476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.78506261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150642395019531 × 2 - 1) × π
    0.698715209960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.19507857050199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78506261} λ = 0.78506261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19507857050199))-π/2
    2×atan(8.98070664772924)-π/2
    2×1.45990332155394-π/2
    2.91980664310788-1.57079632675     		φ = 1.34901032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78506261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.980774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34901032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.292598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81913 KachelY 19745 0.78506261 1.34901032 44.980774 77.292598
    Oben rechts KachelX + 1 81914 KachelY 19745 0.78511054 1.34901032 44.983520 77.292598
    Unten links KachelX 81913 KachelY + 1 19746 0.78506261 1.34899977 44.980774 77.291993
    Unten rechts KachelX + 1 81914 KachelY + 1 19746 0.78511054 1.34899977 44.983520 77.291993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34901032-1.34899977) × R
    1.05500000000536e-05 × 6371000     		dl = 67.2140500003413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34901032-1.34899977) × R
    1.05500000000536e-05 × 6371000     		dr = 67.2140500003413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78506261-0.78511054) × cos(1.34901032) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.21997223357333 × 6371000     		do = 67.1711677876272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78506261-0.78511054) × cos(1.34899977) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.219982525150796 × 6371000     		du = 67.1743104446142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34901032)-sin(1.34899977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21997223357333-0.219982525150796)×R²
    abs(0.78511054-0.78506261)×1.02915774663481e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.02915774663481e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.02915774663481e-05×40589641000000     		ar = 4514.95184567517m²