Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81911 / 19735
↖ ↑ ↗
← N 77.298638°
E 44.975281°		 ← 67.15 m → N 77.298638°
E 44.978027°		 →
↑
67.15 m
↓
↑
67.15 m
↓
N 77.298034°
E 44.975281°		 ← 67.16 m →
4 510 m²		 N 77.298034°
E 44.978027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624935150146484 y=0.150569915771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624935150146484 × 217)
    floor (0.624935150146484 × 131072)
    floor (81911.5)     		tx = 81911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150569915771484 × 217)
    floor (0.150569915771484 × 131072)
    floor (19735.5)     		ty = 19735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81911 / 19735 ti = "17/81911/19735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81911/19735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81911 ÷ 217
    81911 ÷ 131072     		x = 0.624931335449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19735 ÷ 217
    19735 ÷ 131072     		y = 0.150566101074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624931335449219 × 2 - 1) × π
    0.249862670898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.78496673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150566101074219 × 2 - 1) × π
    0.698867797851562 × 3.1415926535     		Φ = 2.19555793949819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78496673} λ = 0.78496673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19555793949819))-π/2
    2×atan(8.98501275208413)-π/2
    2×1.45995603316345-π/2
    2.9199120663269-1.57079632675     		φ = 1.34911574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78496673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.975281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34911574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.298638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81911 KachelY 19735 0.78496673 1.34911574 44.975281 77.298638
    Oben rechts KachelX + 1 81912 KachelY 19735 0.78501467 1.34911574 44.978027 77.298638
    Unten links KachelX 81911 KachelY + 1 19736 0.78496673 1.34910520 44.975281 77.298034
    Unten rechts KachelX + 1 81912 KachelY + 1 19736 0.78501467 1.34910520 44.978027 77.298034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34911574-1.34910520) × R
    1.05400000001143e-05 × 6371000     		dl = 67.1503400007285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34911574-1.34910520) × R
    1.05400000001143e-05 × 6371000     		dr = 67.1503400007285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78496673-0.78501467) × cos(1.34911574) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.219869394494612 × 6371000     		do = 67.1537725169802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78496673-0.78501467) × cos(1.34910520) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.219879676561406 × 6371000     		du = 67.1569129248394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34911574)-sin(1.34910520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219869394494612-0.219879676561406)×R²
    abs(0.78501467-0.78496673)×1.02820667939041e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.02820667939041e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.02820667939041e-05×40589641000000     		ar = 4509.50409678097m²