Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81906 / 16345
↖ ↑ ↗
← N 79.191441°
E 44.961548°		 ← 57.26 m → N 79.191441°
E 44.964294°		 →
↑
57.28 m
↓
↑
57.28 m
↓
N 79.190926°
E 44.961548°		 ← 57.27 m →
3 280 m²		 N 79.190926°
E 44.964294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624897003173828 y=0.124706268310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624897003173828 × 217)
    floor (0.624897003173828 × 131072)
    floor (81906.5)     		tx = 81906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124706268310547 × 217)
    floor (0.124706268310547 × 131072)
    floor (16345.5)     		ty = 16345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81906 / 16345 ti = "17/81906/16345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81906/16345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81906 ÷ 217
    81906 ÷ 131072     		x = 0.624893188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16345 ÷ 217
    16345 ÷ 131072     		y = 0.124702453613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624893188476562 × 2 - 1) × π
    0.249786376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78472705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124702453613281 × 2 - 1) × π
    0.750595092773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.35806402921018
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78472705} λ = 0.78472705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35806402921018))-π/2
    2×atan(10.5704675143362)-π/2
    2×1.47647385129738-π/2
    2.95294770259477-1.57079632675     		φ = 1.38215138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78472705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.961548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38215138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.191441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81906 KachelY 16345 0.78472705 1.38215138 44.961548 79.191441
    Oben rechts KachelX + 1 81907 KachelY 16345 0.78477498 1.38215138 44.964294 79.191441
    Unten links KachelX 81906 KachelY + 1 16346 0.78472705 1.38214239 44.961548 79.190926
    Unten rechts KachelX + 1 81907 KachelY + 1 16346 0.78477498 1.38214239 44.964294 79.190926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38215138-1.38214239) × R
    8.98999999998651e-06 × 6371000     		dl = 57.2752899999141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38215138-1.38214239) × R
    8.98999999998651e-06 × 6371000     		dr = 57.2752899999141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78472705-0.78477498) × cos(1.38215138) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.187528054009086 × 6371000     		do = 57.2639472541993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78472705-0.78477498) × cos(1.38214239) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.187536884512142 × 6371000     		du = 57.2666437545382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38215138)-sin(1.38214239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187528054009086-0.187536884512142)×R²
    abs(0.78477498-0.78472705)×8.83050305530708e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.83050305530708e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.83050305530708e-06×40589641000000     		ar = 3279.88640692642m²