Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81901 / 17066
↖ ↑ ↗
← N 78.813709°
E 44.947815°		 ← 59.25 m → N 78.813709°
E 44.950562°		 →
↑
59.25 m
↓
↑
59.25 m
↓
N 78.813176°
E 44.947815°		 ← 59.26 m →
3 511 m²		 N 78.813176°
E 44.950562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624858856201172 y=0.130207061767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624858856201172 × 217)
    floor (0.624858856201172 × 131072)
    floor (81901.5)     		tx = 81901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130207061767578 × 217)
    floor (0.130207061767578 × 131072)
    floor (17066.5)     		ty = 17066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81901 / 17066 ti = "17/81901/17066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81901/17066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81901 ÷ 217
    81901 ÷ 131072     		x = 0.624855041503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17066 ÷ 217
    17066 ÷ 131072     		y = 0.130203247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624855041503906 × 2 - 1) × π
    0.249710083007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.78448736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130203247070312 × 2 - 1) × π
    0.739593505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32350152458412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78448736} λ = 0.78448736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32350152458412))-π/2
    2×atan(10.2113671330034)-π/2
    2×1.47317751729965-π/2
    2.94635503459929-1.57079632675     		φ = 1.37555871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78448736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.947815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37555871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.813709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81901 KachelY 17066 0.78448736 1.37555871 44.947815 78.813709
    Oben rechts KachelX + 1 81902 KachelY 17066 0.78453530 1.37555871 44.950562 78.813709
    Unten links KachelX 81901 KachelY + 1 17067 0.78448736 1.37554941 44.947815 78.813176
    Unten rechts KachelX + 1 81902 KachelY + 1 17067 0.78453530 1.37554941 44.950562 78.813176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37555871-1.37554941) × R
    9.29999999987885e-06 × 6371000     		dl = 59.2502999992281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37555871-1.37554941) × R
    9.29999999987885e-06 × 6371000     		dr = 59.2502999992281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78448736-0.78453530) × cos(1.37555871) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.19399964289291 × 6371000     		do = 59.252484490401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78448736-0.78453530) × cos(1.37554941) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.194008766199397 × 6371000     		du = 59.2552709830361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37555871)-sin(1.37554941))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19399964289291-0.194008766199397)×R²
    abs(0.78453530-0.78448736)×9.12330648716875e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.12330648716875e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.12330648716875e-06×40589641000000     		ar = 3510.8100319723m²