Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81900 / 17090
↖ ↑ ↗
← N 78.800913°
E 44.945069°		 ← 59.31 m → N 78.800913°
E 44.947815°		 →
↑
59.31 m
↓
↑
59.31 m
↓
N 78.800380°
E 44.945069°		 ← 59.31 m →
3 518 m²		 N 78.800380°
E 44.947815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624851226806641 y=0.130390167236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624851226806641 × 217)
    floor (0.624851226806641 × 131072)
    floor (81900.5)     		tx = 81900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130390167236328 × 217)
    floor (0.130390167236328 × 131072)
    floor (17090.5)     		ty = 17090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81900 / 17090 ti = "17/81900/17090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81900/17090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81900 ÷ 217
    81900 ÷ 131072     		x = 0.624847412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17090 ÷ 217
    17090 ÷ 131072     		y = 0.130386352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624847412109375 × 2 - 1) × π
    0.24969482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78443943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130386352539062 × 2 - 1) × π
    0.739227294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.32235103899324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78443943} λ = 0.78443943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32235103899324))-π/2
    2×atan(10.1996258576328)-π/2
    2×1.47306585740304-π/2
    2.94613171480608-1.57079632675     		φ = 1.37533539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78443943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.945069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37533539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.800913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81900 KachelY 17090 0.78443943 1.37533539 44.945069 78.800913
    Oben rechts KachelX + 1 81901 KachelY 17090 0.78448736 1.37533539 44.947815 78.800913
    Unten links KachelX 81900 KachelY + 1 17091 0.78443943 1.37532608 44.945069 78.800380
    Unten rechts KachelX + 1 81901 KachelY + 1 17091 0.78448736 1.37532608 44.947815 78.800380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37533539-1.37532608) × R
    9.31000000004012e-06 × 6371000     		dl = 59.3140100002556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37533539-1.37532608) × R
    9.31000000004012e-06 × 6371000     		dr = 59.3140100002556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78443943-0.78448736) × cos(1.37533539) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.194218715330769 × 6371000     		do = 59.3070211772947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78443943-0.78448736) × cos(1.37532608) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.194227848043671 × 6371000     		du = 59.3098099610458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37533539)-sin(1.37532608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194218715330769-0.194227848043671)×R²
    abs(0.78448736-0.78443943)×9.1327129015939e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.1327129015939e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.1327129015939e-06×40589641000000     		ar = 3517.81995415416m²