Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81899 / 17027
↖ ↑ ↗
← N 78.834470°
E 44.942322°		 ← 59.14 m → N 78.834470°
E 44.945069°		 →
↑
59.19 m
↓
↑
59.19 m
↓
N 78.833938°
E 44.942322°		 ← 59.15 m →
3 501 m²		 N 78.833938°
E 44.945069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624843597412109 y=0.129909515380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624843597412109 × 217)
    floor (0.624843597412109 × 131072)
    floor (81899.5)     		tx = 81899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129909515380859 × 217)
    floor (0.129909515380859 × 131072)
    floor (17027.5)     		ty = 17027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81899 / 17027 ti = "17/81899/17027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81899/17027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81899 ÷ 217
    81899 ÷ 131072     		x = 0.624839782714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17027 ÷ 217
    17027 ÷ 131072     		y = 0.129905700683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624839782714844 × 2 - 1) × π
    0.249679565429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.78439149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129905700683594 × 2 - 1) × π
    0.740188598632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.3253710636693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78439149} λ = 0.78439149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3253710636693))-π/2
    2×atan(10.2304755393623)-π/2
    2×1.47335869606154-π/2
    2.94671739212308-1.57079632675     		φ = 1.37592107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78439149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.942322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37592107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.834470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81899 KachelY 17027 0.78439149 1.37592107 44.942322 78.834470
    Oben rechts KachelX + 1 81900 KachelY 17027 0.78443943 1.37592107 44.945069 78.834470
    Unten links KachelX 81899 KachelY + 1 17028 0.78439149 1.37591178 44.942322 78.833938
    Unten rechts KachelX + 1 81900 KachelY + 1 17028 0.78443943 1.37591178 44.945069 78.833938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37592107-1.37591178) × R
    9.28999999993962e-06 × 6371000     		dl = 59.1865899996154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37592107-1.37591178) × R
    9.28999999993962e-06 × 6371000     		dr = 59.1865899996154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78439149-0.78443943) × cos(1.37592107) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.193644154424493 × 6371000     		do = 59.1439091618732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78439149-0.78443943) × cos(1.37591178) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.193653268573465 × 6371000     		du = 59.1466928575674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37592107)-sin(1.37591178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193644154424493-0.193653268573465)×R²
    abs(0.78443943-0.78439149)×9.11414897200591e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.11414897200591e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.11414897200591e-06×40589641000000     		ar = 3500.6086813481m²