Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81893 / 114682
↖ ↑ ↗
← S 79.168238°
E 44.925842°		 ← 57.39 m → S 79.168238°
E 44.928589°		 →
↑
57.40 m
↓
↑
57.40 m
↓
S 79.168754°
E 44.925842°		 ← 57.38 m →
3 294 m²		 S 79.168754°
E 44.928589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624797821044922 y=0.874958038330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624797821044922 × 217)
    floor (0.624797821044922 × 131072)
    floor (81893.5)     		tx = 81893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874958038330078 × 217)
    floor (0.874958038330078 × 131072)
    floor (114682.5)     		ty = 114682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81893 / 114682 ti = "17/81893/114682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81893/114682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81893 ÷ 217
    81893 ÷ 131072     		x = 0.624794006347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114682 ÷ 217
    114682 ÷ 131072     		y = 0.874954223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624794006347656 × 2 - 1) × π
    0.249588012695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.78410387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.874954223632812 × 2 - 1) × π
    -0.749908447265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.35590686872728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78410387} λ = 0.78410387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35590686872728))-π/2
    2×atan(0.0948074895900586)-π/2
    2×0.0945249539893649-π/2
    0.18904990797873-1.57079632675     		φ = -1.38174642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78410387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.925842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38174642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.168238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81893 KachelY 114682 0.78410387 -1.38174642 44.925842 -79.168238
    Oben rechts KachelX + 1 81894 KachelY 114682 0.78415180 -1.38174642 44.928589 -79.168238
    Unten links KachelX 81893 KachelY + 1 114683 0.78410387 -1.38175543 44.925842 -79.168754
    Unten rechts KachelX + 1 81894 KachelY + 1 114683 0.78415180 -1.38175543 44.928589 -79.168754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38174642--1.38175543) × R
    9.00999999986496e-06 × 6371000     		dl = 57.4027099991397m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38174642--1.38175543) × R
    9.00999999986496e-06 × 6371000     		dr = 57.4027099991397m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78410387-0.78415180) × cos(-1.38174642) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.187925814326405 × 6371000     		do = 57.3854081520164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78410387-0.78415180) × cos(-1.38175543) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.187916964847916 × 6371000     		du = 57.3827058573006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38174642)-sin(-1.38175543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187925814326405-0.187916964847916)×R²
    abs(0.78415180-0.78410387)×8.84947848878159e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.84947848878159e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.84947848878159e-06×40589641000000     		ar = 3294.00038282804m²