Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81892 / 114679
↖ ↑ ↗
← S 79.166690°
E 44.923096°		 ← 57.41 m → S 79.166690°
E 44.925842°		 →
↑
57.40 m
↓
↑
57.40 m
↓
S 79.167206°
E 44.923096°		 ← 57.40 m →
3 295 m²		 S 79.167206°
E 44.925842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624790191650391 y=0.874935150146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624790191650391 × 217)
    floor (0.624790191650391 × 131072)
    floor (81892.5)     		tx = 81892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874935150146484 × 217)
    floor (0.874935150146484 × 131072)
    floor (114679.5)     		ty = 114679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81892 / 114679 ti = "17/81892/114679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81892/114679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81892 ÷ 217
    81892 ÷ 131072     		x = 0.624786376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114679 ÷ 217
    114679 ÷ 131072     		y = 0.874931335449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624786376953125 × 2 - 1) × π
    0.24957275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78405593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.874931335449219 × 2 - 1) × π
    -0.749862670898438 × 3.1415926535     		Φ = -2.35576305802842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78405593} λ = 0.78405593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35576305802842))-π/2
    2×atan(0.0948211249018221)-π/2
    2×0.094538467815174-π/2
    0.189076935630348-1.57079632675     		φ = -1.38171939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78405593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.923096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38171939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.166690°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81892 KachelY 114679 0.78405593 -1.38171939 44.923096 -79.166690
    Oben rechts KachelX + 1 81893 KachelY 114679 0.78410387 -1.38171939 44.925842 -79.166690
    Unten links KachelX 81892 KachelY + 1 114680 0.78405593 -1.38172840 44.923096 -79.167206
    Unten rechts KachelX + 1 81893 KachelY + 1 114680 0.78410387 -1.38172840 44.925842 -79.167206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38171939--1.38172840) × R
    9.010000000087e-06 × 6371000     		dl = 57.4027100005543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38171939--1.38172840) × R
    9.010000000087e-06 × 6371000     		dr = 57.4027100005543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78405593-0.78410387) × cos(-1.38171939) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.187952362670334 × 6371000     		do = 57.4054894534305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78405593-0.78410387) × cos(-1.38172840) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.187943513237615 × 6371000     		du = 57.4027866088936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38171939)-sin(-1.38172840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187952362670334-0.187943513237615)×R²
    abs(0.78410387-0.78405593)×8.84943271931005e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.84943271931005e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.84943271931005e-06×40589641000000     		ar = 3295.15308814033m²