Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81891 / 114677
↖ ↑ ↗
← S 79.165657°
E 44.920349°		 ← 57.41 m → S 79.165657°
E 44.923096°		 →
↑
57.40 m
↓
↑
57.40 m
↓
S 79.166173°
E 44.920349°		 ← 57.41 m →
3 295 m²		 S 79.166173°
E 44.923096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624782562255859 y=0.874919891357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624782562255859 × 217)
    floor (0.624782562255859 × 131072)
    floor (81891.5)     		tx = 81891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874919891357422 × 217)
    floor (0.874919891357422 × 131072)
    floor (114677.5)     		ty = 114677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81891 / 114677 ti = "17/81891/114677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81891/114677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81891 ÷ 217
    81891 ÷ 131072     		x = 0.624778747558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114677 ÷ 217
    114677 ÷ 131072     		y = 0.874916076660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624778747558594 × 2 - 1) × π
    0.249557495117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.78400799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.874916076660156 × 2 - 1) × π
    -0.749832153320312 × 3.1415926535     		Φ = -2.35566718422918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78400799} λ = 0.78400799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35566718422918))-π/2
    2×atan(0.0948302161991163)-π/2
    2×0.0945474780928817-π/2
    0.189094956185763-1.57079632675     		φ = -1.38170137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78400799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.920349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38170137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.165657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81891 KachelY 114677 0.78400799 -1.38170137 44.920349 -79.165657
    Oben rechts KachelX + 1 81892 KachelY 114677 0.78405593 -1.38170137 44.923096 -79.165657
    Unten links KachelX 81891 KachelY + 1 114678 0.78400799 -1.38171038 44.920349 -79.166173
    Unten rechts KachelX + 1 81892 KachelY + 1 114678 0.78405593 -1.38171038 44.923096 -79.166173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38170137--1.38171038) × R
    9.00999999986496e-06 × 6371000     		dl = 57.4027099991397m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38170137--1.38171038) × R
    9.00999999986496e-06 × 6371000     		dr = 57.4027099991397m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78400799-0.78405593) × cos(-1.38170137) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187970061489998 × 6371000     		do = 57.4108951283904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78400799-0.78405593) × cos(-1.38171038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187961212087795 × 6371000     		du = 57.4081922931742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38170137)-sin(-1.38171038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187970061489998-0.187961212087795)×R²
    abs(0.78405593-0.78400799)×8.84940220238772e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.84940220238772e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.84940220238772e-06×40589641000000     		ar = 3295.46338867813m²