Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8189 / 9545
↖ ↑ ↗
← S 28.478349°
W  0.065918°		 ← 2 147.64 m → S 28.478349°
W  0.043945°		 →
↑
2 147.41 m
↓
↑
2 147.41 m
↓
S 28.497661°
W  0.065918°		 ← 2 147.24 m →
4 611 430 m²		 S 28.497661°
W  0.043945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499847412109375 y=0.582611083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499847412109375 × 214)
    floor (0.499847412109375 × 16384)
    floor (8189.5)     		tx = 8189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582611083984375 × 214)
    floor (0.582611083984375 × 16384)
    floor (9545.5)     		ty = 9545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8189 / 9545 ti = "14/8189/9545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8189/9545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8189 ÷ 214
    8189 ÷ 16384     		x = 0.49981689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9545 ÷ 214
    9545 ÷ 16384     		y = 0.58258056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49981689453125 × 2 - 1) × π
    -0.0003662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00115049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58258056640625 × 2 - 1) × π
    -0.1651611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.518869001487488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00115049} λ = -0.00115049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.518869001487488))-π/2
    2×atan(0.595193330211748)-π/2
    2×0.536877688298808-π/2
    1.07375537659762-1.57079632675     		φ = -0.49704095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00115049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.065918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49704095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.478349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8189 KachelY 9545 -0.00115049 -0.49704095 -0.065918 -28.478349
    Oben rechts KachelX + 1 8190 KachelY 9545 -0.00076699 -0.49704095 -0.043945 -28.478349
    Unten links KachelX 8189 KachelY + 1 9546 -0.00115049 -0.49737801 -0.065918 -28.497661
    Unten rechts KachelX + 1 8190 KachelY + 1 9546 -0.00076699 -0.49737801 -0.043945 -28.497661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49704095--0.49737801) × R
    0.00033706 × 6371000     		dl = 2147.40926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49704095--0.49737801) × R
    0.00033706 × 6371000     		dr = 2147.40926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00115049--0.00076699) × cos(-0.49704095) × R
    0.0003835 × 0.878997361916594 × 6371000     		do = 2147.63535592753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00115049--0.00076699) × cos(-0.49737801) × R
    0.0003835 × 0.878836592803586 × 6371000     		du = 2147.24255221026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49704095)-sin(-0.49737801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878997361916594-0.878836592803586)×R²
    abs(-0.00076699--0.00115049)×0.00016076911300722×R²
    0.0003835×0.00016076911300722×6371000²
    0.0003835×0.00016076911300722×40589641000000     		ar = 4611430.33891039m²