Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81886 / 16346
↖ ↑ ↗
← N 79.190926°
E 44.906616°		 ← 57.28 m → N 79.190926°
E 44.909363°		 →
↑
57.28 m
↓
↑
57.28 m
↓
N 79.190411°
E 44.906616°		 ← 57.28 m →
3 281 m²		 N 79.190411°
E 44.909363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624744415283203 y=0.124713897705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624744415283203 × 217)
    floor (0.624744415283203 × 131072)
    floor (81886.5)     		tx = 81886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124713897705078 × 217)
    floor (0.124713897705078 × 131072)
    floor (16346.5)     		ty = 16346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81886 / 16346 ti = "17/81886/16346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81886/16346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81886 ÷ 217
    81886 ÷ 131072     		x = 0.624740600585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16346 ÷ 217
    16346 ÷ 131072     		y = 0.124710083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624740600585938 × 2 - 1) × π
    0.249481201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78376831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124710083007812 × 2 - 1) × π
    0.750579833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.35801609231056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78376831} λ = 0.78376831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35801609231056))-π/2
    2×atan(10.569960811041)-π/2
    2×1.47646935643471-π/2
    2.95293871286942-1.57079632675     		φ = 1.38214239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78376831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.906616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38214239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.190926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81886 KachelY 16346 0.78376831 1.38214239 44.906616 79.190926
    Oben rechts KachelX + 1 81887 KachelY 16346 0.78381625 1.38214239 44.909363 79.190926
    Unten links KachelX 81886 KachelY + 1 16347 0.78376831 1.38213340 44.906616 79.190411
    Unten rechts KachelX + 1 81887 KachelY + 1 16347 0.78381625 1.38213340 44.909363 79.190411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38214239-1.38213340) × R
    8.98999999998651e-06 × 6371000     		dl = 57.2752899999141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38214239-1.38213340) × R
    8.98999999998651e-06 × 6371000     		dr = 57.2752899999141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78376831-0.78381625) × cos(1.38214239) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187536884512142 × 6371000     		do = 57.2785917293778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78376831-0.78381625) × cos(1.38213340) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18754571500004 × 6371000     		du = 57.2812887876788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38214239)-sin(1.38213340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187536884512142-0.18754571500004)×R²
    abs(0.78381625-0.78376831)×8.83048789857011e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.83048789857011e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.83048789857011e-06×40589641000000     		ar = 3280.72518948729m²