Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81885 / 16357
↖ ↑ ↗
← N 79.185258°
E 44.903870°		 ← 57.31 m → N 79.185258°
E 44.906616°		 →
↑
57.28 m
↓
↑
57.28 m
↓
N 79.184743°
E 44.903870°		 ← 57.31 m →
3 282 m²		 N 79.184743°
E 44.906616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624736785888672 y=0.124797821044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624736785888672 × 217)
    floor (0.624736785888672 × 131072)
    floor (81885.5)     		tx = 81885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124797821044922 × 217)
    floor (0.124797821044922 × 131072)
    floor (16357.5)     		ty = 16357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81885 / 16357 ti = "17/81885/16357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81885/16357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81885 ÷ 217
    81885 ÷ 131072     		x = 0.624732971191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16357 ÷ 217
    16357 ÷ 131072     		y = 0.124794006347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624732971191406 × 2 - 1) × π
    0.249465942382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.78372037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124794006347656 × 2 - 1) × π
    0.750411987304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.35748878641474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78372037} λ = 0.78372037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35748878641474))-π/2
    2×atan(10.5643886776253)-π/2
    2×1.47641989897419-π/2
    2.95283979794837-1.57079632675     		φ = 1.38204347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78372037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.903870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38204347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.185258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81885 KachelY 16357 0.78372037 1.38204347 44.903870 79.185258
    Oben rechts KachelX + 1 81886 KachelY 16357 0.78376831 1.38204347 44.906616 79.185258
    Unten links KachelX 81885 KachelY + 1 16358 0.78372037 1.38203448 44.903870 79.184743
    Unten rechts KachelX + 1 81886 KachelY + 1 16358 0.78376831 1.38203448 44.906616 79.184743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38204347-1.38203448) × R
    8.98999999998651e-06 × 6371000     		dl = 57.2752899999141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38204347-1.38203448) × R
    8.98999999998651e-06 × 6371000     		dr = 57.2752899999141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78372037-0.78376831) × cos(1.38204347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187634048512418 × 6371000     		do = 57.3082681160636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78372037-0.78376831) × cos(1.38203448) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187642878833495 × 6371000     		du = 57.3109651234129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38204347)-sin(1.38203448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187634048512418-0.187642878833495)×R²
    abs(0.78376831-0.78372037)×8.83032107662496e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.83032107662496e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.83032107662496e-06×40589641000000     		ar = 3282.42491166259m²