Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81884 / 16362
↖ ↑ ↗
← N 79.182681°
E 44.901123°		 ← 57.32 m → N 79.182681°
E 44.903870°		 →
↑
57.28 m
↓
↑
57.28 m
↓
N 79.182166°
E 44.901123°		 ← 57.32 m →
3 283 m²		 N 79.182166°
E 44.903870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624729156494141 y=0.124835968017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624729156494141 × 217)
    floor (0.624729156494141 × 131072)
    floor (81884.5)     		tx = 81884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124835968017578 × 217)
    floor (0.124835968017578 × 131072)
    floor (16362.5)     		ty = 16362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81884 / 16362 ti = "17/81884/16362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81884/16362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81884 ÷ 217
    81884 ÷ 131072     		x = 0.624725341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16362 ÷ 217
    16362 ÷ 131072     		y = 0.124832153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624725341796875 × 2 - 1) × π
    0.24945068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78367243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124832153320312 × 2 - 1) × π
    0.750335693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.35724910191664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78367243} λ = 0.78367243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35724910191664))-π/2
    2×atan(10.5618568608581)-π/2
    2×1.47639740984078-π/2
    2.95279481968156-1.57079632675     		φ = 1.38199849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78367243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.901123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38199849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.182681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81884 KachelY 16362 0.78367243 1.38199849 44.901123 79.182681
    Oben rechts KachelX + 1 81885 KachelY 16362 0.78372037 1.38199849 44.903870 79.182681
    Unten links KachelX 81884 KachelY + 1 16363 0.78367243 1.38198950 44.901123 79.182166
    Unten rechts KachelX + 1 81885 KachelY + 1 16363 0.78372037 1.38198950 44.903870 79.182166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38199849-1.38198950) × R
    8.98999999998651e-06 × 6371000     		dl = 57.2752899999141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38199849-1.38198950) × R
    8.98999999998651e-06 × 6371000     		dr = 57.2752899999141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78367243-0.78372037) × cos(1.38199849) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.187678229433058 × 6371000     		do = 57.3217621065767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78367243-0.78372037) × cos(1.38198950) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.18768705967825 × 6371000     		du = 57.3244590907489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38199849)-sin(1.38198950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187678229433058-0.18768705967825)×R²
    abs(0.78372037-0.78367243)×8.8302451922706e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.8302451922706e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.8302451922706e-06×40589641000000     		ar = 3283.1977832915m²