Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81882 / 16349
↖ ↑ ↗
← N 79.189380°
E 44.895630°		 ← 57.29 m → N 79.189380°
E 44.898377°		 →
↑
57.28 m
↓
↑
57.28 m
↓
N 79.188865°
E 44.895630°		 ← 57.29 m →
3 281 m²		 N 79.188865°
E 44.898377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624713897705078 y=0.124736785888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624713897705078 × 217)
    floor (0.624713897705078 × 131072)
    floor (81882.5)     		tx = 81882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124736785888672 × 217)
    floor (0.124736785888672 × 131072)
    floor (16349.5)     		ty = 16349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81882 / 16349 ti = "17/81882/16349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81882/16349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81882 ÷ 217
    81882 ÷ 131072     		x = 0.624710083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16349 ÷ 217
    16349 ÷ 131072     		y = 0.124732971191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624710083007812 × 2 - 1) × π
    0.249420166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78357656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124732971191406 × 2 - 1) × π
    0.750534057617188 × 3.1415926535     		Φ = 2.3578722816117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78357656} λ = 0.78357656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3578722816117))-π/2
    2×atan(10.568440846886)-π/2
    2×1.47645587057674-π/2
    2.95291174115349-1.57079632675     		φ = 1.38211541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78357656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.895630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38211541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.189380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81882 KachelY 16349 0.78357656 1.38211541 44.895630 79.189380
    Oben rechts KachelX + 1 81883 KachelY 16349 0.78362450 1.38211541 44.898377 79.189380
    Unten links KachelX 81882 KachelY + 1 16350 0.78357656 1.38210642 44.895630 79.188865
    Unten rechts KachelX + 1 81883 KachelY + 1 16350 0.78362450 1.38210642 44.898377 79.188865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38211541-1.38210642) × R
    8.98999999998651e-06 × 6371000     		dl = 57.2752899999141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38211541-1.38210642) × R
    8.98999999998651e-06 × 6371000     		dr = 57.2752899999141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78357656-0.78362450) × cos(1.38211541) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187563385752889 × 6371000     		do = 57.2866858904441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78357656-0.78362450) × cos(1.38210642) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187572216195297 × 6371000     		du = 57.2893829348509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38211541)-sin(1.38210642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187563385752889-0.187572216195297)×R²
    abs(0.78362450-0.78357656)×8.83044240718167e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.83044240718167e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.83044240718167e-06×40589641000000     		ar = 3281.18878456754m²