Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81880 / 16282
↖ ↑ ↗
← N 79.223841°
E 44.890137°		 ← 57.09 m → N 79.223841°
E 44.892883°		 →
↑
57.15 m
↓
↑
57.15 m
↓
N 79.223328°
E 44.890137°		 ← 57.10 m →
3 263 m²		 N 79.223328°
E 44.892883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624698638916016 y=0.124225616455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624698638916016 × 217)
    floor (0.624698638916016 × 131072)
    floor (81880.5)     		tx = 81880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124225616455078 × 217)
    floor (0.124225616455078 × 131072)
    floor (16282.5)     		ty = 16282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81880 / 16282 ti = "17/81880/16282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81880/16282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81880 ÷ 217
    81880 ÷ 131072     		x = 0.62469482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16282 ÷ 217
    16282 ÷ 131072     		y = 0.124221801757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62469482421875 × 2 - 1) × π
    0.2493896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78348069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124221801757812 × 2 - 1) × π
    0.751556396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36108405388625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78348069} λ = 0.78348069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36108405388625))-π/2
    2×atan(10.6024388398634)-π/2
    2×1.47675660137486-π/2
    2.95351320274972-1.57079632675     		φ = 1.38271688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78348069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.890137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38271688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.223841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81880 KachelY 16282 0.78348069 1.38271688 44.890137 79.223841
    Oben rechts KachelX + 1 81881 KachelY 16282 0.78352862 1.38271688 44.892883 79.223841
    Unten links KachelX 81880 KachelY + 1 16283 0.78348069 1.38270791 44.890137 79.223328
    Unten rechts KachelX + 1 81881 KachelY + 1 16283 0.78352862 1.38270791 44.892883 79.223328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38271688-1.38270791) × R
    8.97000000010806e-06 × 6371000     		dl = 57.1478700006884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38271688-1.38270791) × R
    8.97000000010806e-06 × 6371000     		dr = 57.1478700006884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78348069-0.78352862) × cos(1.38271688) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186972556449507 × 6371000     		do = 57.0943193917461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78348069-0.78352862) × cos(1.38270791) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186981368257268 × 6371000     		du = 57.0970101832518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38271688)-sin(1.38270791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186972556449507-0.186981368257268)×R²
    abs(0.78352862-0.78348069)×8.81180776027279e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.81180776027279e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.81180776027279e-06×40589641000000     		ar = 3262.89562884181m²