Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81876 / 19724
↖ ↑ ↗
← N 77.305279°
E 44.879150°		 ← 67.12 m → N 77.305279°
E 44.881897°		 →
↑
67.15 m
↓
↑
67.15 m
↓
N 77.304675°
E 44.879150°		 ← 67.12 m →
4 507 m²		 N 77.304675°
E 44.881897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624668121337891 y=0.150485992431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624668121337891 × 217)
    floor (0.624668121337891 × 131072)
    floor (81876.5)     		tx = 81876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150485992431641 × 217)
    floor (0.150485992431641 × 131072)
    floor (19724.5)     		ty = 19724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81876 / 19724 ti = "17/81876/19724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81876/19724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81876 ÷ 217
    81876 ÷ 131072     		x = 0.624664306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19724 ÷ 217
    19724 ÷ 131072     		y = 0.150482177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624664306640625 × 2 - 1) × π
    0.24932861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78328894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150482177734375 × 2 - 1) × π
    0.69903564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19608524539401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78328894} λ = 0.78328894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19608524539401))-π/2
    2×atan(8.98975185165009)-π/2
    2×1.46001398747026-π/2
    2.92002797494052-1.57079632675     		φ = 1.34923165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78328894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.879150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34923165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.305279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81876 KachelY 19724 0.78328894 1.34923165 44.879150 77.305279
    Oben rechts KachelX + 1 81877 KachelY 19724 0.78333688 1.34923165 44.881897 77.305279
    Unten links KachelX 81876 KachelY + 1 19725 0.78328894 1.34922111 44.879150 77.304675
    Unten rechts KachelX + 1 81877 KachelY + 1 19725 0.78333688 1.34922111 44.881897 77.304675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34923165-1.34922111) × R
    1.05399999998923e-05 × 6371000     		dl = 67.1503399993139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34923165-1.34922111) × R
    1.05399999998923e-05 × 6371000     		dr = 67.1503399993139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78328894-0.78333688) × cos(1.34923165) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219756319414683 × 6371000     		do = 67.1192364768619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78328894-0.78333688) × cos(1.34922111) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219766601750026 × 6371000     		du = 67.1223769667431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34923165)-sin(1.34922111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219756319414683-0.219766601750026)×R²
    abs(0.78333688-0.78328894)×1.028233534342e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.028233534342e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.028233534342e-05×40589641000000     		ar = 4507.18499237203m²