Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81870 / 16298
↖ ↑ ↗
← N 79.215622°
E 44.862671°		 ← 57.15 m → N 79.215622°
E 44.865418°		 →
↑
57.15 m
↓
↑
57.15 m
↓
N 79.215108°
E 44.862671°		 ← 57.15 m →
3 266 m²		 N 79.215108°
E 44.865418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624622344970703 y=0.124347686767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624622344970703 × 217)
    floor (0.624622344970703 × 131072)
    floor (81870.5)     		tx = 81870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124347686767578 × 217)
    floor (0.124347686767578 × 131072)
    floor (16298.5)     		ty = 16298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81870 / 16298 ti = "17/81870/16298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81870/16298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81870 ÷ 217
    81870 ÷ 131072     		x = 0.624618530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16298 ÷ 217
    16298 ÷ 131072     		y = 0.124343872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624618530273438 × 2 - 1) × π
    0.249237060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78300132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124343872070312 × 2 - 1) × π
    0.751312255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36031706349232
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78300132} λ = 0.78300132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36031706349232))-π/2
    2×atan(10.5943099888948)-π/2
    2×1.47668487127657-π/2
    2.95336974255314-1.57079632675     		φ = 1.38257342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78300132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.862671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38257342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.215622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81870 KachelY 16298 0.78300132 1.38257342 44.862671 79.215622
    Oben rechts KachelX + 1 81871 KachelY 16298 0.78304926 1.38257342 44.865418 79.215622
    Unten links KachelX 81870 KachelY + 1 16299 0.78300132 1.38256445 44.862671 79.215108
    Unten rechts KachelX + 1 81871 KachelY + 1 16299 0.78304926 1.38256445 44.865418 79.215108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38257342-1.38256445) × R
    8.96999999988601e-06 × 6371000     		dl = 57.1478699992738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38257342-1.38256445) × R
    8.96999999988601e-06 × 6371000     		dr = 57.1478699992738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78300132-0.78304926) × cos(1.38257342) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187113484627613 × 6371000     		do = 57.1492745063297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78300132-0.78304926) × cos(1.38256445) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187122296194673 × 6371000     		du = 57.1519657857198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38257342)-sin(1.38256445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187113484627613-0.187122296194673)×R²
    abs(0.78304926-0.78300132)×8.81156706067365e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.81156706067365e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.81156706067365e-06×40589641000000     		ar = 3266.03621034125m²