Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81863 / 19721
↖ ↑ ↗
← N 77.307090°
E 44.843445°		 ← 67.11 m → N 77.307090°
E 44.846192°		 →
↑
67.09 m
↓
↑
67.09 m
↓
N 77.306486°
E 44.843445°		 ← 67.11 m →
4 502 m²		 N 77.306486°
E 44.846192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624568939208984 y=0.150463104248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624568939208984 × 217)
    floor (0.624568939208984 × 131072)
    floor (81863.5)     		tx = 81863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150463104248047 × 217)
    floor (0.150463104248047 × 131072)
    floor (19721.5)     		ty = 19721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81863 / 19721 ti = "17/81863/19721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81863/19721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81863 ÷ 217
    81863 ÷ 131072     		x = 0.624565124511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19721 ÷ 217
    19721 ÷ 131072     		y = 0.150459289550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624565124511719 × 2 - 1) × π
    0.249130249023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.78266576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150459289550781 × 2 - 1) × π
    0.699081420898438 × 3.1415926535     		Φ = 2.19622905609287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78266576} λ = 0.78266576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19622905609287))-π/2
    2×atan(8.99104476711177)-π/2
    2×1.46002978801693-π/2
    2.92005957603386-1.57079632675     		φ = 1.34926325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78266576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.843445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34926325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.307090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81863 KachelY 19721 0.78266576 1.34926325 44.843445 77.307090
    Oben rechts KachelX + 1 81864 KachelY 19721 0.78271370 1.34926325 44.846192 77.307090
    Unten links KachelX 81863 KachelY + 1 19722 0.78266576 1.34925272 44.843445 77.306486
    Unten rechts KachelX + 1 81864 KachelY + 1 19722 0.78271370 1.34925272 44.846192 77.306486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34926325-1.34925272) × R
    1.05299999999531e-05 × 6371000     		dl = 67.086629999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34926325-1.34925272) × R
    1.05299999999531e-05 × 6371000     		dr = 67.086629999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78266576-0.78271370) × cos(1.34926325) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219725491773413 × 6371000     		do = 67.1098209217147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78266576-0.78271370) × cos(1.34925272) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219735764426352 × 6371000     		du = 67.1129584543403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34926325)-sin(1.34925272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219725491773413-0.219735764426352)×R²
    abs(0.78271370-0.78266576)×1.02726529387365e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02726529387365e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02726529387365e-05×40589641000000     		ar = 4502.27696879239m²