Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81849 / 17063
↖ ↑ ↗
← N 78.815307°
E 44.804992°		 ← 59.24 m → N 78.815307°
E 44.807739°		 →
↑
59.25 m
↓
↑
59.25 m
↓
N 78.814774°
E 44.804992°		 ← 59.25 m →
3 510 m²		 N 78.814774°
E 44.807739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624462127685547 y=0.130184173583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624462127685547 × 217)
    floor (0.624462127685547 × 131072)
    floor (81849.5)     		tx = 81849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130184173583984 × 217)
    floor (0.130184173583984 × 131072)
    floor (17063.5)     		ty = 17063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81849 / 17063 ti = "17/81849/17063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81849/17063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81849 ÷ 217
    81849 ÷ 131072     		x = 0.624458312988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17063 ÷ 217
    17063 ÷ 131072     		y = 0.130180358886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624458312988281 × 2 - 1) × π
    0.248916625976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.78199464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130180358886719 × 2 - 1) × π
    0.739639282226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.32364533528298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78199464} λ = 0.78199464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32364533528298))-π/2
    2×atan(10.2128357424454)-π/2
    2×1.47319146592796-π/2
    2.94638293185592-1.57079632675     		φ = 1.37558661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78199464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.804992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37558661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.815307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81849 KachelY 17063 0.78199464 1.37558661 44.804992 78.815307
    Oben rechts KachelX + 1 81850 KachelY 17063 0.78204258 1.37558661 44.807739 78.815307
    Unten links KachelX 81849 KachelY + 1 17064 0.78199464 1.37557731 44.804992 78.814774
    Unten rechts KachelX + 1 81850 KachelY + 1 17064 0.78204258 1.37557731 44.807739 78.814774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37558661-1.37557731) × R
    9.30000000010089e-06 × 6371000     		dl = 59.2503000006428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37558661-1.37557731) × R
    9.30000000010089e-06 × 6371000     		dr = 59.2503000006428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78199464-0.78204258) × cos(1.37558661) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.193972272872777 × 6371000     		do = 59.2441249817481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78199464-0.78204258) × cos(1.37557731) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.193981396229599 × 6371000     		du = 59.2469114897567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37558661)-sin(1.37557731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193972272872777-0.193981396229599)×R²
    abs(0.78204258-0.78199464)×9.12335682212717e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.12335682212717e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.12335682212717e-06×40589641000000     		ar = 3510.3147290503m²