Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81846 / 17215
↖ ↑ ↗
← N 78.734037°
E 44.796753°		 ← 59.67 m → N 78.734037°
E 44.799500°		 →
↑
59.63 m
↓
↑
59.63 m
↓
N 78.733501°
E 44.796753°		 ← 59.67 m →
3 558 m²		 N 78.733501°
E 44.799500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624439239501953 y=0.131343841552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624439239501953 × 217)
    floor (0.624439239501953 × 131072)
    floor (81846.5)     		tx = 81846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131343841552734 × 217)
    floor (0.131343841552734 × 131072)
    floor (17215.5)     		ty = 17215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81846 / 17215 ti = "17/81846/17215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81846/17215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81846 ÷ 217
    81846 ÷ 131072     		x = 0.624435424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17215 ÷ 217
    17215 ÷ 131072     		y = 0.131340026855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624435424804688 × 2 - 1) × π
    0.248870849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78185083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131340026855469 × 2 - 1) × π
    0.737319946289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.31635892654073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78185083} λ = 0.78185083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31635892654073))-π/2
    2×atan(10.1386912982098)-π/2
    2×1.47248225380362-π/2
    2.94496450760724-1.57079632675     		φ = 1.37416818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78185083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.796753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37416818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.734037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81846 KachelY 17215 0.78185083 1.37416818 44.796753 78.734037
    Oben rechts KachelX + 1 81847 KachelY 17215 0.78189877 1.37416818 44.799500 78.734037
    Unten links KachelX 81846 KachelY + 1 17216 0.78185083 1.37415882 44.796753 78.733501
    Unten rechts KachelX + 1 81847 KachelY + 1 17216 0.78189877 1.37415882 44.799500 78.733501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37416818-1.37415882) × R
    9.36000000018034e-06 × 6371000     		dl = 59.6325600011489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37416818-1.37415882) × R
    9.36000000018034e-06 × 6371000     		dr = 59.6325600011489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78185083-0.78189877) × cos(1.37416818) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195363567051427 × 6371000     		do = 59.6690620356825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78185083-0.78189877) × cos(1.37415882) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19537274668399 × 6371000     		du = 59.6718657317511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37416818)-sin(1.37415882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195363567051427-0.19537274668399)×R²
    abs(0.78189877-0.78185083)×9.17963256338861e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.17963256338861e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.17963256338861e-06×40589641000000     		ar = 3558.30251787111m²