Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8184 / 8210
↖ ↑ ↗
← N 79.152743°
W135.043945°		 ← 114.95 m → N 79.152743°
W135.038452°		 →
↑
114.93 m
↓
↑
114.93 m
↓
N 79.151709°
W135.043945°		 ← 114.96 m →
13 212 m²		 N 79.151709°
W135.038452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124885559082031 y=0.125282287597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124885559082031 × 216)
    floor (0.124885559082031 × 65536)
    floor (8184.5)     		tx = 8184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125282287597656 × 216)
    floor (0.125282287597656 × 65536)
    floor (8210.5)     		ty = 8210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8184 / 8210 ti = "16/8184/8210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8184/8210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8184 ÷ 216
    8184 ÷ 65536     		x = 0.1248779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8210 ÷ 216
    8210 ÷ 65536     		y = 0.125274658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1248779296875 × 2 - 1) × π
    -0.750244140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.35696148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125274658203125 × 2 - 1) × π
    0.74945068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.35446876173868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35696148} λ = -2.35696148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35446876173868))-π/2
    2×atan(10.5325320911823)-π/2
    2×1.47613614861432-π/2
    2.95227229722865-1.57079632675     		φ = 1.38147597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35696148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38147597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.152743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8184 KachelY 8210 -2.35696148 1.38147597 -135.043945 79.152743
    Oben rechts KachelX + 1 8185 KachelY 8210 -2.35686561 1.38147597 -135.038452 79.152743
    Unten links KachelX 8184 KachelY + 1 8211 -2.35696148 1.38145793 -135.043945 79.151709
    Unten rechts KachelX + 1 8185 KachelY + 1 8211 -2.35686561 1.38145793 -135.038452 79.151709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38147597-1.38145793) × R
    1.80400000000525e-05 × 6371000     		dl = 114.932840000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38147597-1.38145793) × R
    1.80400000000525e-05 × 6371000     		dr = 114.932840000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35696148--2.35686561) × cos(1.38147597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188191438903736 × 6371000     		do = 114.945029301101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35696148--2.35686561) × cos(1.38145793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188209156540976 × 6371000     		du = 114.955851017241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38147597)-sin(1.38145793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188191438903736-0.188209156540976)×R²
    abs(-2.35686561--2.35696148)×1.77176372405108e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.77176372405108e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.77176372405108e-05×40589641000000     		ar = 13211.5805470812m²