Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81834 / 17114
↖ ↑ ↗
← N 78.788104°
E 44.763794°		 ← 59.39 m → N 78.788104°
E 44.766541°		 →
↑
59.38 m
↓
↑
59.38 m
↓
N 78.787570°
E 44.763794°		 ← 59.39 m →
3 526 m²		 N 78.787570°
E 44.766541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624347686767578 y=0.130573272705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624347686767578 × 217)
    floor (0.624347686767578 × 131072)
    floor (81834.5)     		tx = 81834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130573272705078 × 217)
    floor (0.130573272705078 × 131072)
    floor (17114.5)     		ty = 17114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81834 / 17114 ti = "17/81834/17114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81834/17114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81834 ÷ 217
    81834 ÷ 131072     		x = 0.624343872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17114 ÷ 217
    17114 ÷ 131072     		y = 0.130569458007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624343872070312 × 2 - 1) × π
    0.248687744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78127559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130569458007812 × 2 - 1) × π
    0.738861083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32120055340236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78127559} λ = 0.78127559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32120055340236))-π/2
    2×atan(10.1878980826629)-π/2
    2×1.47295407141836-π/2
    2.94590814283672-1.57079632675     		φ = 1.37511182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78127559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.763794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37511182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.788104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81834 KachelY 17114 0.78127559 1.37511182 44.763794 78.788104
    Oben rechts KachelX + 1 81835 KachelY 17114 0.78132353 1.37511182 44.766541 78.788104
    Unten links KachelX 81834 KachelY + 1 17115 0.78127559 1.37510250 44.763794 78.787570
    Unten rechts KachelX + 1 81835 KachelY + 1 17115 0.78132353 1.37510250 44.766541 78.787570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37511182-1.37510250) × R
    9.32000000020139e-06 × 6371000     		dl = 59.3777200012831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37511182-1.37510250) × R
    9.32000000020139e-06 × 6371000     		dr = 59.3777200012831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78127559-0.78132353) × cos(1.37511182) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194438023311295 × 6371000     		do = 59.3863771539506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78127559-0.78132353) × cos(1.37510250) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194447165428835 × 6371000     		du = 59.3891693919654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37511182)-sin(1.37510250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194438023311295-0.194447165428835)×R²
    abs(0.78132353-0.78127559)×9.14211753999528e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.14211753999528e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.14211753999528e-06×40589641000000     		ar = 3526.31057303008m²