Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81833 / 17229
↖ ↑ ↗
← N 78.726523°
E 44.761047°		 ← 59.71 m → N 78.726523°
E 44.763794°		 →
↑
59.76 m
↓
↑
59.76 m
↓
N 78.725985°
E 44.761047°		 ← 59.71 m →
3 568 m²		 N 78.725985°
E 44.763794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624340057373047 y=0.131450653076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624340057373047 × 217)
    floor (0.624340057373047 × 131072)
    floor (81833.5)     		tx = 81833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131450653076172 × 217)
    floor (0.131450653076172 × 131072)
    floor (17229.5)     		ty = 17229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81833 / 17229 ti = "17/81833/17229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81833/17229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81833 ÷ 217
    81833 ÷ 131072     		x = 0.624336242675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17229 ÷ 217
    17229 ÷ 131072     		y = 0.131446838378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624336242675781 × 2 - 1) × π
    0.248672485351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.78122765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131446838378906 × 2 - 1) × π
    0.737106323242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.31568780994605
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78122765} λ = 0.78122765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31568780994605))-π/2
    2×atan(10.1318893369411)-π/2
    2×1.47241667635948-π/2
    2.94483335271897-1.57079632675     		φ = 1.37403703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78122765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.761047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37403703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.726523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81833 KachelY 17229 0.78122765 1.37403703 44.761047 78.726523
    Oben rechts KachelX + 1 81834 KachelY 17229 0.78127559 1.37403703 44.763794 78.726523
    Unten links KachelX 81833 KachelY + 1 17230 0.78122765 1.37402765 44.761047 78.725985
    Unten rechts KachelX + 1 81834 KachelY + 1 17230 0.78127559 1.37402765 44.763794 78.725985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37403703-1.37402765) × R
    9.38000000005879e-06 × 6371000     		dl = 59.7599800003745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37403703-1.37402765) × R
    9.38000000005879e-06 × 6371000     		dr = 59.7599800003745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78122765-0.78127559) × cos(1.37403703) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195492188226994 × 6371000     		do = 59.7083462534099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78122765-0.78127559) × cos(1.37402765) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19550138723372 × 6371000     		du = 59.7111558668464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37403703)-sin(1.37402765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195492188226994-0.19550138723372)×R²
    abs(0.78127559-0.78122765)×9.19900672591289e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.19900672591289e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.19900672591289e-06×40589641000000     		ar = 3568.25352923885m²