Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81832 / 17112
↖ ↑ ↗
← N 78.789172°
E 44.758301°		 ← 59.37 m → N 78.789172°
E 44.761047°		 →
↑
59.38 m
↓
↑
59.38 m
↓
N 78.788638°
E 44.758301°		 ← 59.37 m →
3 525 m²		 N 78.788638°
E 44.761047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624332427978516 y=0.130558013916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624332427978516 × 217)
    floor (0.624332427978516 × 131072)
    floor (81832.5)     		tx = 81832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130558013916016 × 217)
    floor (0.130558013916016 × 131072)
    floor (17112.5)     		ty = 17112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81832 / 17112 ti = "17/81832/17112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81832/17112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81832 ÷ 217
    81832 ÷ 131072     		x = 0.62432861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17112 ÷ 217
    17112 ÷ 131072     		y = 0.13055419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62432861328125 × 2 - 1) × π
    0.2486572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78117972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13055419921875 × 2 - 1) × π
    0.7388916015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.3212964272016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78117972} λ = 0.78117972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3212964272016))-π/2
    2×atan(10.1888748819823)-π/2
    2×1.47296339173628-π/2
    2.94592678347257-1.57079632675     		φ = 1.37513046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78117972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.758301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37513046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.789172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81832 KachelY 17112 0.78117972 1.37513046 44.758301 78.789172
    Oben rechts KachelX + 1 81833 KachelY 17112 0.78122765 1.37513046 44.761047 78.789172
    Unten links KachelX 81832 KachelY + 1 17113 0.78117972 1.37512114 44.758301 78.788638
    Unten rechts KachelX + 1 81833 KachelY + 1 17113 0.78122765 1.37512114 44.761047 78.788638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37513046-1.37512114) × R
    9.31999999997934e-06 × 6371000     		dl = 59.3777199998684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37513046-1.37512114) × R
    9.31999999997934e-06 × 6371000     		dr = 59.3777199998684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78117972-0.78122765) × cos(1.37513046) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.194419739025548 × 6371000     		do = 59.368406180948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78117972-0.78122765) × cos(1.37512114) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.194428881176866 × 6371000     		du = 59.3711978468329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37513046)-sin(1.37512114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194419739025548-0.194428881176866)×R²
    abs(0.78122765-0.78117972)×9.14215131769813e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.14215131769813e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.14215131769813e-06×40589641000000     		ar = 3525.24348048823m²