Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81831 / 17217
↖ ↑ ↗
← N 78.732964°
E 44.755554°		 ← 59.67 m → N 78.732964°
E 44.758301°		 →
↑
59.70 m
↓
↑
59.70 m
↓
N 78.732427°
E 44.755554°		 ← 59.68 m →
3 562 m²		 N 78.732427°
E 44.758301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624324798583984 y=0.131359100341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624324798583984 × 217)
    floor (0.624324798583984 × 131072)
    floor (81831.5)     		tx = 81831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131359100341797 × 217)
    floor (0.131359100341797 × 131072)
    floor (17217.5)     		ty = 17217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81831 / 17217 ti = "17/81831/17217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81831/17217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81831 ÷ 217
    81831 ÷ 131072     		x = 0.624320983886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17217 ÷ 217
    17217 ÷ 131072     		y = 0.131355285644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624320983886719 × 2 - 1) × π
    0.248641967773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.78113178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131355285644531 × 2 - 1) × π
    0.737289428710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.31626305274149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78113178} λ = 0.78113178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31626305274149))-π/2
    2×atan(10.1377193099506)-π/2
    2×1.47247288823966-π/2
    2.94494577647932-1.57079632675     		φ = 1.37414945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78113178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.755554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37414945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.732964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81831 KachelY 17217 0.78113178 1.37414945 44.755554 78.732964
    Oben rechts KachelX + 1 81832 KachelY 17217 0.78117972 1.37414945 44.758301 78.732964
    Unten links KachelX 81831 KachelY + 1 17218 0.78113178 1.37414008 44.755554 78.732427
    Unten rechts KachelX + 1 81832 KachelY + 1 17218 0.78117972 1.37414008 44.758301 78.732427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37414945-1.37414008) × R
    9.36999999989752e-06 × 6371000     		dl = 59.6962699993471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37414945-1.37414008) × R
    9.36999999989752e-06 × 6371000     		dr = 59.6962699993471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78113178-0.78117972) × cos(1.37414945) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195381936106709 × 6371000     		do = 59.6746724179852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78113178-0.78117972) × cos(1.37414008) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195391125512274 × 6371000     		du = 59.67747909898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37414945)-sin(1.37414008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195381936106709-0.195391125512274)×R²
    abs(0.78117972-0.78113178)×9.18940556493553e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.18940556493553e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.18940556493553e-06×40589641000000     		ar = 3562.43913108801m²