Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81829 / 16291
↖ ↑ ↗
← N 79.219218°
E 44.750061°		 ← 57.12 m → N 79.219218°
E 44.752807°		 →
↑
57.08 m
↓
↑
57.08 m
↓
N 79.218705°
E 44.750061°		 ← 57.12 m →
3 261 m²		 N 79.218705°
E 44.752807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624309539794922 y=0.124294281005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624309539794922 × 217)
    floor (0.624309539794922 × 131072)
    floor (81829.5)     		tx = 81829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124294281005859 × 217)
    floor (0.124294281005859 × 131072)
    floor (16291.5)     		ty = 16291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81829 / 16291 ti = "17/81829/16291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81829/16291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81829 ÷ 217
    81829 ÷ 131072     		x = 0.624305725097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16291 ÷ 217
    16291 ÷ 131072     		y = 0.124290466308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624305725097656 × 2 - 1) × π
    0.248611450195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.78103591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124290466308594 × 2 - 1) × π
    0.751419067382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.36065262178967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78103591} λ = 0.78103591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36065262178967))-π/2
    2×atan(10.5978655940393)-π/2
    2×1.47671625984478-π/2
    2.95343251968957-1.57079632675     		φ = 1.38263619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78103591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.750061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38263619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.219218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81829 KachelY 16291 0.78103591 1.38263619 44.750061 79.219218
    Oben rechts KachelX + 1 81830 KachelY 16291 0.78108384 1.38263619 44.752807 79.219218
    Unten links KachelX 81829 KachelY + 1 16292 0.78103591 1.38262723 44.750061 79.218705
    Unten rechts KachelX + 1 81830 KachelY + 1 16292 0.78108384 1.38262723 44.752807 79.218705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38263619-1.38262723) × R
    8.95999999994679e-06 × 6371000     		dl = 57.084159999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38263619-1.38262723) × R
    8.95999999994679e-06 × 6371000     		dr = 57.084159999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78103591-0.78108384) × cos(1.38263619) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.187051822883679 × 6371000     		do = 57.1185243508633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78103591-0.78108384) × cos(1.38262723) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.187060624732595 × 6371000     		du = 57.121212101316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38263619)-sin(1.38262723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187051822883679-0.187060624732595)×R²
    abs(0.78108384-0.78103591)×8.80184891580149e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.80184891580149e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.80184891580149e-06×40589641000000     		ar = 3260.63969701286m²