Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81826 / 17219
↖ ↑ ↗
← N 78.731891°
E 44.741821°		 ← 59.68 m → N 78.731891°
E 44.744568°		 →
↑
59.70 m
↓
↑
59.70 m
↓
N 78.731354°
E 44.741821°		 ← 59.68 m →
3 563 m²		 N 78.731354°
E 44.744568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624286651611328 y=0.131374359130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624286651611328 × 217)
    floor (0.624286651611328 × 131072)
    floor (81826.5)     		tx = 81826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131374359130859 × 217)
    floor (0.131374359130859 × 131072)
    floor (17219.5)     		ty = 17219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81826 / 17219 ti = "17/81826/17219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81826/17219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81826 ÷ 217
    81826 ÷ 131072     		x = 0.624282836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17219 ÷ 217
    17219 ÷ 131072     		y = 0.131370544433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624282836914062 × 2 - 1) × π
    0.248565673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78089209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131370544433594 × 2 - 1) × π
    0.737258911132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.31616717894225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78089209} λ = 0.78089209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31616717894225))-π/2
    2×atan(10.1367474148751)-π/2
    2×1.47246352179505-π/2
    2.94492704359009-1.57079632675     		φ = 1.37413072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78089209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.741821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37413072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.731891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81826 KachelY 17219 0.78089209 1.37413072 44.741821 78.731891
    Oben rechts KachelX + 1 81827 KachelY 17219 0.78094003 1.37413072 44.744568 78.731891
    Unten links KachelX 81826 KachelY + 1 17220 0.78089209 1.37412135 44.741821 78.731354
    Unten rechts KachelX + 1 81827 KachelY + 1 17220 0.78094003 1.37412135 44.744568 78.731354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37413072-1.37412135) × R
    9.36999999989752e-06 × 6371000     		dl = 59.6962699993471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37413072-1.37412135) × R
    9.36999999989752e-06 × 6371000     		dr = 59.6962699993471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78089209-0.78094003) × cos(1.37413072) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195400305093449 × 6371000     		do = 59.6802827793532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78089209-0.78094003) × cos(1.37412135) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195409494464722 × 6371000     		du = 59.6830894498744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37413072)-sin(1.37412135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195400305093449-0.195409494464722)×R²
    abs(0.78094003-0.78089209)×9.18937127294961e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.18937127294961e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.18937127294961e-06×40589641000000     		ar = 3562.77404835291m²