Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81826 / 16290
↖ ↑ ↗
← N 79.219732°
E 44.741821°		 ← 57.13 m → N 79.219732°
E 44.744568°		 →
↑
57.15 m
↓
↑
57.15 m
↓
N 79.219218°
E 44.741821°		 ← 57.13 m →
3 265 m²		 N 79.219218°
E 44.744568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624286651611328 y=0.124286651611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624286651611328 × 217)
    floor (0.624286651611328 × 131072)
    floor (81826.5)     		tx = 81826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124286651611328 × 217)
    floor (0.124286651611328 × 131072)
    floor (16290.5)     		ty = 16290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81826 / 16290 ti = "17/81826/16290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81826/16290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81826 ÷ 217
    81826 ÷ 131072     		x = 0.624282836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16290 ÷ 217
    16290 ÷ 131072     		y = 0.124282836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624282836914062 × 2 - 1) × π
    0.248565673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78089209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124282836914062 × 2 - 1) × π
    0.751434326171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36070055868929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78089209} λ = 0.78089209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36070055868929))-π/2
    2×atan(10.5983736350353)-π/2
    2×1.47672074308138-π/2
    2.95344148616277-1.57079632675     		φ = 1.38264516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78089209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.741821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38264516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.219732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81826 KachelY 16290 0.78089209 1.38264516 44.741821 79.219732
    Oben rechts KachelX + 1 81827 KachelY 16290 0.78094003 1.38264516 44.744568 79.219732
    Unten links KachelX 81826 KachelY + 1 16291 0.78089209 1.38263619 44.741821 79.219218
    Unten rechts KachelX + 1 81827 KachelY + 1 16291 0.78094003 1.38263619 44.744568 79.219218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38264516-1.38263619) × R
    8.97000000010806e-06 × 6371000     		dl = 57.1478700006884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38264516-1.38263619) × R
    8.97000000010806e-06 × 6371000     		dr = 57.1478700006884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78089209-0.78094003) × cos(1.38264516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187043011196229 × 6371000     		do = 57.127750106399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78089209-0.78094003) × cos(1.38263619) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187051822883679 × 6371000     		du = 57.1304414225591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38264516)-sin(1.38263619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187043011196229-0.187051822883679)×R²
    abs(0.78094003-0.78089209)×8.81168745001104e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.81168745001104e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.81168745001104e-06×40589641000000     		ar = 3264.80613805012m²